「正六角形（Regular hexagon、外角の大きさはpi/6=0.5235988ラジアンあるいは180/6=30度、内角の大きさは2*pi*(6-2)/6=4.18879ラジアンあるいは180*(6-2)/6=120度）」の場合

正五角形（Regular pentagon、外角の大きさはpi/5=0.6283185ラジアンあるいは180/5=36度、内角の大きさは2*pi*(5-2)/5=3.769911ラジアンあるいは180*(5-2)/5=108度）の場合

正方形（Square, 外角の大きさはpi/4=0.7853982ラジアンあるいは180/4=45度、内角の大きさは2*pi*(4-2)/16=0.7853982ラジアンあるいは180*(4-2)/4=157.5度）の場合

正三角形（Equilateral triangle, 外角の大きさはpi/3=1.047198ラジアンあるいは180/pi=60度、内角の大きさは2*pi*(3-2)/3=2.094395あるいは180*(3-2)/3=60度）の場合

正1角形（pi=3.141593ラジアンあるいは360度）の場合 平面上には描画可能な（あるいは立体との接点としてのみ映る）図形。概ね「球面上において出発点と終点を等しくする円周（距離も不定なら円面積全体）もしくは球表面（距離も不定なら球体積全体）」とし…

正2角形（Regular digon、外角の大きさはpi/2=1.570796ラジアンあるいは180/2=90度、内角の大きさは2*pi*(2-2)/2=0ラジアンあるいは180*(2-2)/2=0度）の場合 やはりこれも平面上には描画可能な（あるいは立体との接点としてのみ映る）図形。

「正11角形（Regular hendecagon、外角の大きさはpi/11=0.2855993ラジアンあるいは180/11=16.36364度、内角の大きさは2*pi*(11-2)/11=5.140788ラジアンあるいは180*(11-2)/11=147.2727度）」の場合

貴方は「数学上の自然概念（Nature of Mathematics）」について、どれだけ有識か？ How much do you know about "The Nature of Mathematics"? そもそも最近、数の概念は自然数(Natural Number)N=1,2,3,…∞から出発し整数(Integer)Z=-∞…-1,-2,-3,0,1,2,3,…∞を…

ところで、こんな話があるのです。 とりあえず音の高さを1、周期を1とします。長３度和音ドミソは純正律（Just intonation）だときれいな協和音になりますが、この場合の周波数は次のとおりです。 ド 1.0000 ミ 5/4=1.2500 ソ 3/2=1.5000 一方、平均律のドミ…

とりあえず、以下のお題をそのまま解いて見ましょう。 Rによる信号処理tamosblog.wordpress.com 振幅が1で周波数10[Hz]の正弦波と，振幅が1/4で周波数30[Hz]の余弦波の合成波信号データについて，離散フーリエ変換（FFT）によって得られた振幅スペクトルを取…

「直交座標系（Rectangular coordinate system/Orthogonal coordinate system）」においては互いに直交する（一次独立の）座標軸の積み重ねがN次元空間を表現します。 統計言語Rによる3D表示（z軸＝t） library(rgl)ccs_x<-seq(-3*pi,3*pi,length=180)ccs_y<…

四元数（quaternion=クォターニオン）だけでなくフーリエ解析（Fourier Analysis）やラプラス変換（Laplace transform）/ラプラス逆変換（Laplace inverse transform）でも出てきます。

それでは実際の複素指数関数型フーリエ級数による実際の波形の合成過程に目を向けて見ましょう。

①外接円に対する内接円の半径の比率はCos(π/n)で推移し、究極的には円のそれ、すなわち1倍（Cos(0)）と合致する。 統計言語Rによる実証例 #cos(pi/x)の振る舞いf0=function(x) cos(pi/x)plot(f0,xlim=c(0,50),ylim=c(-1,1),main="Ratio of inscribed circle …

そもそも「フーリエ解析（Fourier analysis）」は、全ての波形について（Sin波やCos波の様な）正弦波に適正な数字を掛けて足し合わせたら再現可能と考えます。 なので微積分の分野同様に「既存の方法で取り零してきた例を、より高度なテクニックの導入により…

①「大数の弱法則 (WLLN: Weak Law of Large Numbers) 」の提唱者たるヤコブ・ベルヌーイ（Jakob Bernoulli、1654年〜1705年）とその弟子レオンハルト・オイラー（Leonhard Euler, 1707年〜1783年）は、「各出目の出現確率が均等に1/6の六面体サイコロを6回降…

テイラー展開は展開の中心付近の近似は良いのですが，ある区間においてテイラー展開式の部分和で近似しようとすると，あまり良い近似式にならない場合があります．それで，関数を多項式関数や有理関数（多項式関数では不十分な場合もあります）による最良近…

涌井良幸「高校生からわかるフーリエ解析（2019年）」第1章の内容がコンピューター言語による検証向けだったので、早速統計言語Rでのプログラミングにチャレンジしてみました。

ある意味、ベイズ統計学の主目的は「可能世界が必然的に経験し続けていく跳躍を巡る確率変数モデル改良手続きの厳密化」と定義可能かもしれません。 可能世界（possible worlds）…元来はゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツ（Gottfried Wilhelm Leib…

その発明以降、コンピューターはテクノロジーとしてのそれ自体の進化だけでなく「かかる概念が存在する事による想像力の進化」も促してきたのでした。 概要 ポーランドのSF作家スタニスワフ・レムが「ソラリスの陽のもとに（Solaris,1961年、映画化1972年、2…

ホブズボーム区分における「危機の時代（1973年 - 1991年）」及び以降に該当。 ホブズボーム区分における「危機の時代（1973年 - 1991年）」 1973年には先進諸国で変動相場制が導入されたが、数ヵ月後には第4次中東戦争の勃発をきっかけとして原油価格の高騰…

ホブズボーム区分における「破局の時代（1914年 - 1945年）」「黄金の時代（1945年 - 1973年）」に該当。 ホブズボーム区分における「破局の時代（1914年 - 1945年）」 1914年のサラエボ事件をきっかけとしてヨーロッパを主戦場とした第一次世界大戦が勃発し…

ホブズボーム区分上の「資本の時代（1848年 - 1875年）」と「帝国の時代（1875年 - 1914年）」に該当。 ホブズボーム区分上の資本の時代（1848年 - 1875年） フランス第二共和政の成立、またドイツ三月革命の勃発をきっかけに、ヨーロッパは再編されていく。…

ホブズボーム区分上の「革命の時代（1789年 - 1848年）」に該当。 ホブズボーム区分上の「革命の時代（1789年 - 1848年）」 1789年7月14日、バスティーユ牢獄の襲撃を発端とするフランス革命が起き、その影響はヨーロッパ各国へ波及した。その後、ナポレオン…

まずはあらゆる空間的概念の原風景として「オイラーの原始量（Euler's primitive sweep）＝観測原点をすっぽり包む全球型スクリーン」なる概念を仮定します。

幾何学上の1角形（頂点や辺や面の概念が全て１点上に集約する図形。球表面上においてのみ認識可能）は、その時点で既に「回転の向き」なる価値観を有しています。

出発点はあくまで「オイラーの原始量（Euler's primitive sweep）＝観測原点0を距離1ですっぽり包見込む全球型スクリーン」となります。 ①任意の観測原点「０」を設置する。この時点ではまだ何も起こってはいない。 ②何かが観測されると、たちまち観測原点「…

ネイピア数e（2.718282）はしばしば定数として扱われますが実際には自然指数関数e^xや自然対数関数Log(x)がそれぞれの状態においじて返す超越数の一部なのです。そしてこれらの関数は他に極限値として1/eや1を返してきます。統計言語Rによる図示例 #ネイピア…

ヤコブ・ベルヌーイ（Jakob Bernoulli、1654年〜1705年）が導出した指数関数e^xに複素数πiを代入すると、所謂「世界で一番美しい方程式」オイラーの等式（Eulers identity）e^πi=(1+πi/N)^N=-1となって半円を描きます。ちなみにそういう具合に式を拡張したの…

ヤコブ・ベルヌーイ（Jakob Bernoulli、1654年〜1705年）が1683年の導出に用いた複利計算式「(1+1/N)^N」に立脚する導出方法。 まず「原資1を預けると１年で利息1がついて倍になる」夢の金融商品を想定する。 これは単利のケースだが、上掲の複利計算式すな…