正2角形(Regular digon、外角の大きさはpi/2=1.570796ラジアンあるいは180/2=90度、内角の大きさは2*pi*(2-2)/2=0ラジアンあるいは180*(2-2)/2=0度)の場合
やはりこれも平面上には描画可能な(あるいは立体との接点としてのみ映る)図形。
「1の原始冪根級数(One Primitive Sone series)」の一環としてζ^2の答えとなる2点は基本円(Basic circle,半径1,円周2π)に内接する正2角形を描く。
Rtime<-seq(0,2,length=3)
tr01<-exp(seq(0,2*pi,length=3)*(0+1i))
tr01
- 1±0i
- -1+0i
概ね「任意の円弧を2分割する2点(直線距離1に対して円弧上の距離はπ/2倍)、あるいは出発地点と到着定点の間を等しい測地線で結ぶ球表面上の円弧を観測原点とその面幾何学においておける原点出発点と終点を等しくする円周もしくは球上の一点」を指す。例えば任意の球表面上において出発点「1」とその座標上正反対に位置する対蹠地「−1」の間を(両者の直線距離1に対してπ/2倍の距離で結ぶ)無数の測地線など。
直線の概念を曲がった空間において一般化したものである。測地線の中でその長さが2点間の距離に等しくなるものを最短測地線という。
言葉の由来は、測地学からであり、地球上の2点間の最短ルート(大円の一部)による。この概念は、数学的な空間にも拡張され、例えばグラフ理論ではグラフ上の2つの頂点(vertex)や結節点 (node) 間の測地線が定義されている。一般相対性理論では、光は曲がった空間での測地線を進むという原理に基づいて構築されている。
概要として、単純な例を示す。 地球を単純に球面であるとしよう.地球表面上で生活する我々は,例えば 東京とニューヨークの間を最短距離で移動するためには、東京とニューヨークを通る大円に沿った移動を行えばよく、この大円の一部こそ、測地線と呼ばれるものになる。
しかしながら、一般に、大円をその上の2点で分けると優弧と劣弧に分かれる。東京からニューヨークへ大円に沿った移動をしても、東京からニューヨークに行くには大円の周り方によって遠い移動と近い移動とある。この場合、劣弧に沿って移動すれば最短距離、優弧に沿えば直線的な移動としては最も遠回りになるわけである。大円の一部である弧は測地線となるが、必ずしも2点間の最短距離を示す曲線とはならない。
逆に2点間の最短距離を示す曲線は測地線となるので、2点を結ぶ測地線の中で最短のものが2点の最短距離を示すと考えてよい。その意味で、測地線というのは、2点間の最短距離を測るための曲線の候補の集まりであるともいえる。
ちなみに、2点を北極と南極のような対極の位置に取れば、この2点を結ぶ最短測地線は無数にあることにも注意されたい。
球面では測地線は閉曲線となるが、回転楕円体面上など一般には測地線は閉曲線とならない。
地球あるいは他の天体上で、ある場所とは180°逆に位置する場所。地球においては俗にいう「地球の裏側」である。対蹠点(たいせきてん、たいしょてん)とも言う。数学では3次元のいわゆる球以外の、抽象的な球面に対しても対蹠点という表現を使う。なお、対称点(たいしょうてん)は誤り。
「対蹠」の「蹠」は、「足裏」を意味する語である。従って、「対蹠」とは、「足裏を対する」という意味で、即ち「正反対」を意味する語である。英語の「antipode」は、“anti”(反対)と“pode”(足)の合成語で、「足を対した所」を意味する。日本で「蹠」を「しょ」と読むのは慣用読みであり、本来の漢音は「せき」である。
- 2*tan(pi/2)=3.266248e+16
*∞(無限大)とも。単位円の様な実数領域には存在し得ない値。オイラーの等式「e^πi=-1」によって「1+πi」が究極的には「-1+0i」と等価とされる複素数表示だと「1+1i」となる。
- 2*tan(pi/2)/cos(pi/2)=2.667094e+32
*∞(無限大)/0とかそういう感じで定義不可。 - cos(pi/2)=6.123234e-17
*これは「0に限りなく近い」という意味。
平面図上は「円周上の2点(1.-1)を結ぶ線分」と映る。
統計言語Rによる作図
#正ニ角形
library(rgl)
Rtime<-seq(0,2,length=3)
tr01<-c(1,-1,1)
Real<-Re(tr01)
Imag<-Im(tr01)
plot3d(Real,Imag,Rtime,type="l",xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),zlim=c(0,2))
movie3d(spin3d(axis=c(0,0,1),rpm=5),duration=10,fps=25,movie="~/Desktop/test11")
2つの点とその間を結ぶ「辺」で構成されるが、興味深いことにこの「辺」の概念がユークリッド幾何学上の線分の条件を満たしておらず「分割数に応じた同じ辺長(最大π)の線分の集合としてしか扱えない」というか「球面上の任意の位置に2点間を結ぶ同じ辺長(最大π)の直線が確率的に存在している」という状態。この巾着袋めいた動きこそが実は地球儀における緯度(Latitude)概念や共益複素数(Conjugate complex number)概念の大源流でもある。
統計言語Rによるプログラミング例
#RD=2角形(Regular Digon)
#Radian=角度(60分割)
RD<-function(Radian){
c0<-seq(0,2*pi,length=60)
cx<-cos(c0)
cy<-sin(c0)
plot(cx,cy,asp=1,type="l",main="Regular Henagon",xlab="cos(θ)",ylab="sin(θ)")p_max<-15
p0<-seq(pi,0,length=p_max)
px_Hi<-rev(cos(p0))
px_Low<-rev(cos(p0*-1))
py_Hi<-rev(sin(p0))
py_Low<-rev(sin(p0*-1))#左側インジケータ描画(緑)
polygon(c(px_Hi[1:Radian],px_Low[Radian:1]), #x
c(py_Hi[1:Radian],py_Low[Radian:1]), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45), #塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,1,0)) #塗りつぶす色
#右側インジケータ描画(赤)
polygon(c(px_Hi[p_max:Radian],px_Low[Radian:p_max]), #x
c(py_Hi[p_max:Radian],py_Low[Radian:p_max]), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45), #塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(1,0,0)) #塗りつぶす色
}
#アニメーション
library("animation")
Time_Code=c(1:15,14:1)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
RD(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "RD01.gif")
正2角形(Regular digon)の「多角形におけるコサイン波サンプリング効果(Cosine wave sampling effect in polygons)」に基づく諸元は以下。
面白い観測結果が得られるのは正1角形と正2角形の間が最初となる。
統計言語Rによるプログラミング例。
#FHtD=1角形から2角形へ(From Henagon to Digon)
#Noc=角数(Number of corners), この場合1-2
FHtD<-function(NoC){
c0<-seq(0,2*pi,length=60)
cx<-cos(c0)
cy<-cos(c0-1/NoC*pi)
text01<-paste0("cos(θ-1/",round(NoC,4),"*pi)")
plot(cx,cy,type="o",main="From Henagon to Digon",xlab="cos(θ)",ylab=text01)
#凡例
legend("bottomright", legend=text01,lty=c(1), col=c(rgb(0,0,0)))
}
#アニメーション
library("animation")
Time_Code=seq(1,2, length=11)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
FHtD(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "FHtD01.gif")
全体像としては以下の様になっている事が想定される。
- オリジナル波形Cos(θ)に対して正1角形のサンプリング波形は-Cos(θ)となり、観測結果を直交させると直線上に分布する。
- 正2角形のサンプリング波形はSin(θ)であり、その観測結果をオリジナル波形Cos(θ)オリジナル波形直交させると円を描く。この時の円周の最大値が2π。正多角形の辺数を無限に増やし、内接円と外接円の半径差を無限に0に近づけていった場合の極限値でもある。
- 以降のサンプリング波形は次第に円そのもののサンプリング波形であるCos(θ)(観測結果を直交させるとやはり直線上に分布)への無限収束を続ける。
統計言語Rによるプログラミング例。
#アニメーション
library("animation")
Time_Code=seq(1,48, length=96)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
FHtD(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "FHtD01.gif")
またこういう特徴も。
- 大円をπ進むと小円を-1、大円を2π進むと小円を1進んで原点に戻る。
- 逆方向に進んでも同じ結果となる。
「オイラーの原始量(Euler's primitive sweep)=観測原点0をスッポリ包む全球型スクリーン」なる発想の源泉とも。