【多角形の方程式情報倉庫】オイラーの公式（Euler's formula）e^θi=cos(θ)+sin(θ)iについて。

近代数学はまさにオイラーの公式オイラーの公式（Euler's formula）e^θi=cos(θ)+sin(θ)iの発見から始まった？

【三角関数情報倉庫】ピタゴラスの定義からトーラス構造へ

今回は三平方の定理、すなわちいわゆる「ピタゴラスの定理」の証明から。

三平方の定理の証明

①直角三角形を４個集めると正方形が出来る。

②大きな正方形の面積Sは一辺が{a,ab}={b,bc}={c,cd}={d,da}（Aとする）で、かつ{ab,b}+{bc,c}+{cd,c}={da,a}（Bとする）にして{a,ab}+{ab,b}={b,bc}+{bc+b}={c,cd}+{cd,d}={d,da}+{da,a}なので

S=(A+B)^2

③またSは一辺が{ab,bc}={bc,cd}={cd,da}={da=ab}（Cとする）の正方形とABの直角三角形4つの和でもあるので

S=C^2+4*1/2*A*B

④よって

A^2+2AB+B^2=C^2+2AB

⑤これを整理すると

A^2+B^2=C^2

a^2+b^2=c^2からsinθ^2+cosθ^2=1へ

ここに登場する直角三角形ABCは（プログラム中での扱いを見ても分かる様に）以下とも置ける。
a=cos(θ)
b=sin(θ)
c=1
よって同時に任意の角度θに対して以下が成立。
cos(θ)^2+sin(θ)^2=1

ところでこの図形、グルグル回せます。

①x+y(cos(θ)+sin(θ))…内接する正方形と外接する正方形の辺長比の最大は2の0.5乗すなわち{…1/2(2^-1),sqrt(2)/2(2^-0.5),1(2^0),sqrt(2)(2^0.5),2(2^1)…}の対数比に準拠して推移する。この時円周2πは4分割される。

これは（正三角形同様に2の1乗の対数比で無限連鎖する）正方形の内接円と外接円の比率の推移に対応する（ちなみに正三角形の場合、円周2πは3分割される）。

ちなみにx*y(cos(θ)*sin(θ))はx=y(cos(45度=1/4π)=sin(45度=1/4π))の時最大値0.5に。それぞれ1辺の長さはsqrt(2)/2(２乗して0.5=2^-1)となる。

「多角形におけるコサイン波サンプリング効果（Cosine wave sampling effect in polygons）」についての詳しい内容はこちらを参照してください。

【多角形情報】円そのもの（Circle itself）

（辺数を無限に増やし続けた）正多角形の極限としての最大の特徴は以下となります。

• 内接円と外接円の差が0
• その時の周長の合計は2π

そのまま直接は扱えないので適度な分割数（Division number）を設定して観測対象とします。最古の例として知られるのがシュメールの60分割法。

【解析情報倉庫】【三角関数】「天然サンプラー」としての正多角形について

三角関数や自然対数を使って円が描ける様になると、ちょっとした応用でどんな正多角形も描ける様になります。

すると今度は内接円（Inscribed circle）の半径（Radius）を下限、外接円（Circumscribed circle）の半径を上限とする拡大縮小を伴った多角形の回転に直面する展開を迎えます。

 

 正式名称は知りませんが、とりあえず私はこれを「多角形におけるコサイン波サンプリング効果（Cosine wave sampling effect in polygons）」と呼んでいます。何故かというと…

【解析情報倉庫】【三角関数】【微分積分学】【指数・対数関数】オイラーの公式e^θi=Cos(θ)+Sin(θi)に到る道①

まずは基本中の基本、すなわち「正弦波の位相変遷の法則」の確認から入りましょう。

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「視覚とそれを処理する脊髄」の獲得こそが、あらゆる数理的直感やビジネスモデルの出発点かもしれません。何白それ以前の生物は「我考える、故に我あり」以前に脳髄を備えていないのですから。

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