通常の状況下では同じ状態を指す表現が、特殊な状況下ではそうならない事もあるのが数理（Mathematical Things）の世界… 直交（orthogonal） - Wikipedia 初等幾何学におけるそれは「垂直に交わる」こと、すなわちユークリッド空間内の交わる二つの直線や平…

「とりあえずコンピューターに計算させてみる」は数学嫌いを克服する上で最良の手段かもしれません。 統計言語R（with YACAS）による実行例 library(Ryacas)yacas("Solve(x^3-2*x^2-x+2==0,x)")Yacas vector:[1] x == 1 x == -1 x == 2 yacas("Solve(4*x^3-2…

実は代数方程式（Algebraic formula）と超越方程式（Transcendental formula）の境界線を巡る議論がどの資料を見てもチンプンカンプン… 代数方程式でないすべての方程式をいう。対数方程式，指数方程式，三角方程式などは超越方程式である。

コンピューターに数理(Mathematical things)を扱わせようとしてまず困るのが代数的処理（Algebraic processing）。なにせデフォルトでは2/3みたいな分数的処理すら扱ってくれないのですから。 そんな時は黙ってYacas (Yet Another Computer Algebra System) …

実際の素数の求め方はこんな感じですが「ある数までに含まれる互いに素な数字の数」なら別の計算でもっと簡単に求められます。それがオイラーのφ関数なんですね。

高校数学Iのラスボスは因数分解？ そして現時点のステージにおける私のラスボスはどうやら超越関数（transcendental function）らしい？ 吉田武「オイラーの贈物」「基礎理論(Basic Theory)」より 数列（numerical sequence）…一般項（general term）が規定…

吉田武「オイラーの贈物」の「基礎理論(Basic Theory)」においては「パスカルの木」の説明から入ってました。 これ以降の数字列はオンライン整数列大辞典の数列 A003590を参照。

吉田武「オイラーの贈物」「基礎理論(Basic Theory)」より 我々は問題を解く必要に迫られて、ひとつまたひとつと数(number)の概念そのものを、拡張し、充実させてきた。 まずは数列（numerical sequence、ある規則に従って並べられた数の列）と整数（integer…

吉田武「オイラーの贈物」「基礎理論(Basic Theory)」「素数と合成数」より 自然数において1とその数自身の他に約数（divisor）を持たない数を素数（prime number）という。そしてそれ以外の、すなわちいずれかの素数の積、すなわち倍数（multiple）として表…

元来古代ギリシャ・ローマ時代の形而上学は直接欧州に伝播した訳ではなく、イスラム文化圏において君主のパトロネージュを受けたアラビア哲学者達が「宗教家の押し付けてくる教条主義的倫理規範」に対抗するイデオロギーとして練り上げられる過程を経てきま…

実は「円描写プロセスの理論化」は近世以降の数学・物理学の最大の成果とも。 ①等速円運動（Constant velocity circular motion）をX軸から観察すればCos波が、Y軸から観察すればSin波が得られる。②すなわちX軸にCos波、Y軸にSin波を配置すれば円が描かれる…

如何なる動きが正しいかは各時代の状態によって異なる。とりあえずここではそれに影響のあったと推定されるパラダイムシフトを伴う歴史区分をこうカウントする。 大航海時代（15世紀中旬〜17世紀中旬）の始まり…これを契機とする「経済中心地の地中海沿岸地…

正１角形（Regular Henagon）あるいは「正一辺形（Regular one side）」の場合

正２角形（Regular Digon）あるいは正２辺形（Regular bilateral）の場合…1角形（Henagon）同様に球面上にしか存在し得ない図形となる。 外角の大きさはpi/2=1.570796ラジアンあるいは180/2=90度。 内角の大きさは2*pi*(2-2)/2=0ラジアンあるいは180*(2-2)/2…

XY軸（円弧） ZX軸（Cos波） ZY軸（Sin波） 円描写１周を１周期とする「単位円筒（Unit Sylinder）」の概念はそれなりに美しいのですが「（無限小の辺長の無限大の辺数を有する）円そのもの（Circle itself）をコンピューター上で扱う上で60角形と解釈する」…

そう、式（formula）Cos(θ)*Sin(θ)や式Cos(θ)/Sin(θ)は、Cos(θ)=0になってもSin(θ)=0になっても合計が0になってしまい連続性が保てなくなってしまうのです。従って「原則として」直交座標系（Rectangular coordinate system/Orthogonal coordinate system）…

一般に「三平方の定理（Three square theorem）」あるいは「ピタゴラスの定理（Pythagorean theorem）」として知られるX^2+Y^2=Z^2の式、すなわち単位円（Unit Circle、半径1の円弧）上ではx^2+y^2=1、 単位球面（Unit Circle、半径1の円弧）上ではx^2+y^2+z…

まず最初に。この論考においてはオイラーの公式（Euler's formula）cos(θ)+sin(θ)iをより一般化した方程式（Equation）cos(θ)+cos(θ-π/N)iを扱いますが、ここでいうNは正多角形（Regular Polygon, Regular N gon）の角数（NoC=Number of Corners）というより…

手段は何であれ「X軸にCos波、Y軸にSin波」を配する事さえ思いつけば円は描けてしまいます。そして物理系科学の世界においては、数学世界と異なり以下の様な解釈が主流となっている様なのです。

発端はこの記事。 数列の極限は， 1…（有限の値に）収束する。 2A…正の無限大に発散する。 2B…負の無限大に発散する。 3…振動する。 のいずれかである。2と3の場合をいずれも発散すると言う。 例題5「数列 An=(−1)^n の極限を調べよ」の解答 Anは−1 と 1 を…

ところで、ここで扱った方程式（Equation）Y=(-1)^Xの実数域と虚数域に登場する波形の周期は2(1+1)ですが、これを人為的に円周2π（π+π）へと差し替えて見慣れたCos(θ)波やSin(θ)波に変換する事は可能でしょうか？

そもそもの発端はこの「赤い四角の部分」の挙動に興味を持った事。 X軸のCos(θ)波と、Y軸のSin(θ)i波は、元来同じ波形。前者を-90度回転させた結果が後者。 両者の乗算によって得られる面積は最小が0（Cos(θ)=0あるいはSin(θ)=0の場合）、最大が1/4（Cos(θ)=…

上掲の投稿で「オイラーの公式（Euler's formula）e^θi=cos(θ)+sin(θ)i」の一般形たる「多角形方程式（Poligons equattion）Cos(θ)+Cos(θ-π/NoC)i)」それ自体は「３角形以上しか描けない」ユークリッド幾何学（Euclidean geometry）の世界内で展開不可能な事…

実はオイラーの公式cos(θ)+sin(θ)iとは多角形方程式Cos(θ)+Cos(θ-π/NoC)i（NoC=Number of Corners=角数）の特殊解に過ぎず、しかも後者はその成立を「正２角形以下」に限定してしまうので「三角形以上の成立しか許さない」平面幾何学（Plane geometry）を代…

三角関数や自然対数を使って円が描ける様になると、ちょっとした応用でどんな正多辺形（Regular Polisides）も描ける様になります。

近代数学はまさにオイラーの公式オイラーの公式（Euler's formula）e^θi=cos(θ)+sin(θ)iの発見から始まった？

今回は三平方の定理、すなわちいわゆる「ピタゴラスの定理」の証明から。 三平方の定理の証明 ①直角三角形を４個集めると正方形が出来る。 ②大きな正方形の面積Sは一辺が{a,ab}={b,bc}={c,cd}={d,da}（Aとする）で、かつ{ab,b}+{bc,c}+{cd,c}={da,a}（Bとす…

（辺数を無限に増やし続けた）正多角形の極限としての最大の特徴は以下となります。 内接円と外接円の差が0 その時の周長の合計は2π そのまま直接は扱えないので適度な分割数（Division number）を設定して観測対象とします。最古の例として知られるのがシュ…

三角関数や自然対数を使って円が描ける様になると、ちょっとした応用でどんな正多角形も描ける様になります。 すると今度は内接円（Inscribed circle）の半径（Radius）を下限、外接円（Circumscribed circle）の半径を上限とする拡大縮小を伴った多角形の回…

まずは基本中の基本、すなわち「正弦波の位相変遷の法則」の確認から入りましょう。