「諸概念の迷宮(Things got frantic)」用語集

本編で頻繁に使うロジックと関連用語のまとめ。

【数理Computingの基礎】直交(orthogonal)と線型独立 (linearly independent)

通常の状況下では同じ状態を指す表現が、特殊な状況下ではそうならない事もあるのが数理Mathematical Things)の世界…

f:id:ochimusha01:20191220164748p:plain

直交(orthogonal) - Wikipedia

初等幾何学におけるそれは「垂直に交わる」こと、すなわちユークリッド空間内の交わる二つの直線や平面のなす角が直角であることを意味する。

このことは、直線と曲線または曲線同士、あるいは平面と曲面または曲面同士、もしくは曲線と曲面などの場合にも、交点において曲線の接線または法線)あるいは曲面の接平面または法線)などを考えることにより拡張できる。すなわち接線同士(または法線同士)の直交を以って二つの曲線の直交を定義するのである。

注意すべきこととして、これら対象の直交性をベクトルによって定めるならば(ベクトルは平行移動不変であるから)直交するそれらの対象は必ずしも「交わらない」。また非標準的な内積に関する直交性を考えるならば、直交するふたつのベクトルは必ずしも直角を成さない。

線型独立(linearly independent)または一次独立 - Wikipedia

線型代数linear algebra)において、ベクトルの集合が線型従属(一次従属)でないこと、つまり集合のベクトルの線型結合によるゼロベクトルの表示が自明なものに限ることをいう。

f:id:ochimusha01:20190503031715p:plain

例:ベクトル空間 R2 の部分集合 {(1, 0), (0, 1), (-2, 1)} は非自明な線型関係 2(1, 0) - (0, 1) + (-2, 1) = 0 を満たすので線型従属である。他方 {(1, 0), (0, 1)} は線型独立である。

地理的な例は線型独立性の概念を明確にする助けとなるだろう。ある場所の位置を記述している人は「それはここから3キロ北で4キロ東」と言うかもしれない。これは位置を記述するのに十分な情報である、なぜならば地理的な座標系は 2-次元ベクトル空間と考えることができるからである(高度と地球の表面の曲がりは無視して)。その人は「その場所はここから北東に5キロ」と付け加えるかもしれない。この主張は正しいが、必要でない。

この例において「3キロ北」ベクトルと「4キロ東」ベクトルは線型独立である。つまり、北ベクトルを東ベクトルの言葉では記述できないし、逆もまたしかり。三番目の「5キロ北東」ベクトルは他の 2 つのベクトルの線型結合であり、ベクトルの集合を「線型従属」にする、つまり、3つのベクトルのうち1つは不要である。

また次のことにも注意しよう。高度が無視されない場合、線型独立な集合に第三のベクトルを付け加えることが必要になる。一般に、n 個の線型独立なベクトルは n-次元空間の任意の位置を記述するために必要である。 

①例えば物理学における「等速円運動Constant velocity circular motionをX軸のcos波とY軸の2つの単振動運動に分解して再合成する」考え方…(周期2π

等速円運動Constant velocity circular motion)をX軸から観察すればCos波が、Y軸から観察すればSin波が得られる。②すなわちX軸にCos波、Y軸にSin波を配置すれば円が描かれる。

f:id:ochimusha01:20191029133633g:plain

f:id:ochimusha01:20191029193635g:plain

f:id:ochimusha01:20191029194000g:plain 

②例えば数学における「振動関数-1^x虚数-1i^2=-1を代入して-1i^(2x)に変形する事によって得られる複素数行列をガウス平面に配置すると円を描く」という発想…(周期2

f:id:ochimusha01:20191031192319p:plain

f:id:ochimusha01:20190927084428g:plain
f:id:ochimusha01:20190927091103g:plain

③例えば統計学における「相関係数+1と相関係数-1の狭間に無相関(相関係数0)が挟まれる」なる発想…

f:id:ochimusha01:20190522062425g:plain

こうした全てが座標の直交(orthogonal)と線型独立 (linearly independent) を前提としている訳ですが、ならばその保証は一体どういう形で与えられているのでしょうか? まずはそこを出発点としなければなりません。以下続報…