そもそもの発端はこの「赤い四角の部分」の挙動に興味を持った事。
- X軸のCos(θ)波と、Y軸のSin(θ)i波は、元来同じ波形。前者を-90度回転させた結果が後者。
- 両者の乗算によって得られる面積は最小が0(Cos(θ)=0あるいはSin(θ)=0の場合)、最大が1/4(Cos(θ)=Sin(θ)=sqrt(2)/2の場合。ピタゴラスの定義x^2+y^2=z^2に従ってそれぞれ2乗すると対角線長0.5の正方形が現れ、その面積がこれとなる)となる。つまり4象限分集めると辺長1/面積1/対角線sqrt(2)の正方形が回転の都度、現れては消えていく事になる。
- この推移は対数比X^0.5(1/2乗)に従って推移する「正方形における外接円と内接円の関係比」と完全に合致する。
その数理自体に再検討の余地はなく、また科学技術への特別な貢献もなかった事から、このトピックについての特別な解説など見た事がありません。しかし実は、この過程が単なる正方形の状況推移に見えない辺りにこそ「正方形にまつわる重要な秘密」が示唆されていたのです。
統計言語Rによるプログラミング例
#MCtS=Multiplication Cos(θ) times Sin(θ)
MCtS<-function(theta){
c0<-seq(0,2*pi,length=60)
cx<-cos(c0)
cy<-sin(c0)
plot(cx,cy,asp=1,type="l",main="Multiplication Cos(θ) * Sin(θ)",ylab="Cos(θ)",xlab="Sin(θ)")
#第一象限
polygon(c(0,cx[theta],cx[theta],0,0), #x
c(0,0,cy[theta],cy[theta],0), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45), #塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(1,0,0)) #塗りつぶす色#第二象限
polygon(c(0,cx[theta+15],cx[theta+15],0,0), #x
c(0,0,cy[theta+15],cy[theta+15],0), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45), #塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,1,0)) #塗りつぶす色#第三象限
polygon(c(0,cx[theta+30],cx[theta+30],0,0), #x
c(0,0,cy[theta+30],cy[theta+30],0), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45), #塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,0,1)) #塗りつぶす色#第四象限
polygon(c(0,cx[theta+45],cx[theta+45],0,0), #x
c(0,0,cy[theta+45],cy[theta+45],0), #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45), #塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(1,1,0)) #塗りつぶす色#頂点に文字
text(cx[theta],cy[theta],"a",col=rgb(1,0,0))
text(cx[theta+15],cy[theta+15],"b",col=rgb(0,1,0))
text(cx[theta+30],cy[theta+30],"c",col=rgb(0,0,1))
text(cx[theta+45],cy[theta+45],"d",col=rgb(1,1,0))
}#アニメーション
library("animation")
Time_Code=c(1:15)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
MCtS(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "MCtS01.gif")
①実はオイラーの公式cos(θ)+sin(θ)iとは多角形方程式Cos(θ)+Cos(θ-π/NoC)i(Noc=Number of Corners=角数)の特殊解に過ぎず、しかも後者はその成立を「正2角形以下」に限定してしまうので「三角形以上の成立しか許さない」平面幾何学(Plane geometry)を代表するユークリッド幾何学(Euclidean geometry)の世界と直接の関わりを備えていないのである。
- 多角形方程式Cos(θ)+Cos(θ-π/NoC)iにおける1角形(Hanagon)から2角形(Hanagon)を経て円そのもの(Circle itself)に至る展開。1角形(Hanagon)から2角形(Digon)にかけて「比較的素早く」90度旋回した後、残り90度を円そのもの(Circle itself)に向けて角数を無限大に収束させる形でゆっくり消化していく(あまりにゆっくりなのでグラフは途中から加速)。
- 一方、1角形(Hanagon)以下の展開では2角形(Hanagon)から始まる回転周期を2/(2N+1)の式に従って短縮させつつ無限小に収束させていく。まるでパルサー爆発の様だ?
- そして正方形(Square)は明らかに多角形方程式Cos(θ)+Cos(θ-π/NoC)iにおけるオイラーの公式cos(θ)+sin(θ)iの出現条件を満たしていない。
②この矛盾を解決するのが、とりあえずこのサイトでは「辺長サンプリング効果(Side length sampling effect)」と呼ぶ事にした「N角形は多角形方程式の周期を1/Nし、その先頭部分だけをN回繰り返す」現象となる。
各多角形における多角形方程式Cos(θ)+Cos(θ-π/角数)iの計算結果の対応。
そう、我々の目に「円に内接する多角形」として映っていたのは全てこんな「フランケンシュタイン博士の怪物」めいた貼り合わせの産物で、全体としてトーラス(単数形torus, 複数形tori)構造、すなわちドーナツ状を形成していたのでした。
ところでこの世界観における(正)1角形(Henagon)は以下の状態を指すのです。
- 平面上には存在しえず、客観的には球表面上の1点、およびそれを起点に無数に伸ばされた無数の2π=1τ(τ)の辺の集合として認識される。
- 主観的にはあらゆるタイミングにおける観測の結果が(とりあえず円周のそれに合致する考えられる)2π=1τ(タウ)となるだけで、観測結果に立脚した時空間認識が構築不可能な無知蒙昧状態と認識される。
- コンピューター・プログラムでいうと(一切の認識可能な割り込みを処理してないので、その動作からイベントとイベント処理の一覧が作成出来ない)空ループ状態に例えられる。
すると無限に存在し、その向こうを自由に跋扈する(2角形の次以降に現れる)正2/(2π+1)角形群とは一体…最初に念頭に浮かんだのはこんなイメージでした。
ティンダロスの猟犬(The Hounds of Tindalos) - Wikipedia
クトゥルフ神話作品に登場する架空の生物。初出は『ウィアード・テイルズ』誌1929年3月号に掲載されたフランク・ベルナップ・ロングの小説「ティンダロスの猟犬(The Hounds of Tindalos)」。
時間が生まれる以前の超太古、異常な角度をもつ空間に住む不浄な存在とされる。出自についてはマイノグーラがシュブ=ニグラスと交わって産んだ落とし仔たちであるとも言われている。
絶えず飢え、そして非常に執念深い。四つ足で、獲物の「におい」を知覚すると、その獲物を捕らえるまで、時間や次元を超えて永久に追い続ける。獲物を追う様子から「猟犬」と呼ばれるが、犬とは全く異なる存在である。
彼らが我々の住むこの世界に出現するには「120度以下の鋭い角」が必要である。 部屋の角や物品の破片などが形成する鋭角から青黒い煙のようなものが噴出し、それが凝ってティンダロスの猟犬の実体を構成する。その実体化の直前、酷い刺激を伴った悪臭が発生するので襲来を察知することができるが、その時点で既に手遅れとなっている。古代ギリシア人によると、彼らから身を守る唯一の方法は身辺のものから一切の鋭角をなくし「曲線」のみで構成することであるという。
こちらの世界に姿を表すときの特徴的な形態として「太く曲がりくねって鋭く伸びた注射針のような舌」と、「原形質に似ているが酵素を持たない、青みがかった脳漿のようなもの」を全身からしたたらせるさまが描写されている。
ローレンス・J・コーンフォードの「万物溶解液 錬金術師エノイクラの物語」によると、ハイパーボリア大陸の黒魔術師である「黒のヴェルハディス」は、彼らの1体である「ルルハリル」と呼ばれていた個体を球形の「ジレルスの結界石」に閉じ込めて敵の抹殺に使役したという。但しこの石は「五つなる結社」のスパイであるイイドウェイに奪われ、結社の手に渡った。後にヴェルハディスが倒された後、ルルハリルは新たに達人の称号を与えられた錬金術師エノイクラを抹殺するために差し向けられたが、エノイクラの作り出した「万物溶解液」により撃退されている。
そう、元来「真球に幽閉されてその外側に出られない」設定でしたね。
いや実際、この考えをまとめた晩にこいつに襲われる夢とか見たんですよ。あり得ない場所に「次元の裂け目」が現れて、そこから向こう側の全然透けて見えない真っ黒な闇が無理やり流れ込んできてこの世界に形を得ようとする感じ。
ビジュアルイメージは大体、この辺りの援用でした。あと、この辺りも確実に混ざってました。
「ティンダロスの猟犬」の悪夢、21世紀に入ってもなお健在…これを読んでその内容を理解した貴方のもとにもきっと現れます…