(辺数を無限に増やし続けた)正多角形の極限としての最大の特徴は以下となります。
- 内接円と外接円の差が0
- その時の周長の合計は2π
そのまま直接は扱えないので適度な分割数(Division number)を設定して観測対象とします。最古の例として知られるのがシュメールの60分割法。
統計言語Rによるプログラミング例
c0<-seq(0,2*pi,length=60)
cx<-cos(c0)
cy<-sin(c0)
plot(cx,cy,asp=1,type="l",main="Circle itself",xlab="cos(θ)",ylab="sin(θ)")
円そのもの(Circle itself)の「多角形におけるコサイン波サンプリング効果(Cosine wave sampling effect in polygons)」に基づく諸元は以下。
- 理論上辺数=無限大、辺数=無限小。実際の単位円(Unit Circle, 半径1の円弧)上における中心からの任意の分割数(Division Number)による計測結果を2Dヒストグラム(度数分布表)に表すと空間的広がり=仮想分割数*周期数に対応した半径(単位円では1)の集合、時間的広がり=観測開始から観測度数Count Upに至る周期=分割数が得られる。
こうした観測結果より得られた時空間認識から単位円柱(Unit cylinder=半径1,周期1)が構成可能となる。
統計言語Rによるプログラミング例
library(rgl)
Rtime<-seq(0,2*pi,length=60)
CosX<-cos(Rtime)
SinY<-sin(Rtime)
plot3d(CosX,SinY,Rtime,type="l",xlim=c(-1,1),ylim=c(-1,1),zlim=c(0,2*pi))
movie3d(spin3d(axis=c(0,0,1),rpm=5),duration=10,fps=25,movie="~/Desktop/test01") - 「サンプリング」の元波形となるのはコサイン波cos(θ-1/無限大)=cos(θ)でオリジナルの波形たるコサイン波cos(θ)と完全に重なる。サンプリング範囲は0から2/無限大*π=無限大で実質上円周と同じ2π。
統計言語Rによるプログラミング例。
cx<-seq(0,2*pi,length=60)
cy<-cos(c0)
plot(cx,cy,type="l",main="Trajectory of Circle itself",xlab="Amplitude",ylab="Radians")
#凡例
legend("bottomright", legend=c("cos(θ)"), lty=c(1), col=c(rgb(0,0,0)))
もちろんCos(θ)波とCos(θ)波を直交させても、それ単体ではあまり面白い観測結果とはなり得ない。統計言語Rによるプログラミング例。
c0<-seq(0,2*pi,length=60)
cx<-cos(c0)
cy<-cos(c0)
plot(cx,cy,type="o",main="Cos(θ) orthogonal Cos(θ) ",xlab="cos(θ)",ylab="cos(θ)")
#凡例
legend("bottomright", legend=c("cos(θ) orthogonal cos(θ) "), lty=c(1), col=c(rgb(0,0,0))) - サンプリング波形の値は外接円の半径(単位円の場合は1)+内接円と外接円の差(常に0)なので頂点位置は存在しない。
*上掲の様に観測結果が以下だから仕方がない。
そう、正多角形の極限としての円そのもの(Circle itself)の最大の特徴は「内接円と外接円の差が0」である点にあるので位相幾何学(Topology)的にトーラス(単数形torus, 複数形tori)形状を考えると以下の様になってしまうのである。