ところで、こんな話があるのです。
とりあえず音の高さを1、周期を1とします。長３度和音ドミソは純正律（Just intonation）だときれいな協和音になりますが、この場合の周波数は次のとおりです。
- ド 1.0000
- ミ 5/4=1.2500
- ソ 3/2=1.5000
一方、平均律のドミソは次のとおりです。
- ド 1.0000
- ミ 2^(4/12)=1.2599
- ソ 2^(7/12)=1.4983
若干、ずれが生じます。したがって音にも影響します。 ちなみにこれは明るい感じのするメジャー和音ですが、ドレソ#は暗い感じがします。
純正律（Just Intonation）
- ド 1.0000
- レ 9/8=1.2500
- ソ# 10/9=1.111111
平均律（Equal Temperament）
- ド 1.0000
- レ 2^(2/12) =1.122462
- ソ# 2^(8/12) =1.587401
統計言語Rによる純正律再生
library(tuneR)
#純正律再生関数
Just_Intonation<-function(note){
f1<-function(x){(440*2^(-3/12))*x} #チューンダウン
notes<-f1(note)
for (i in notes) {
beep<- sine(i);
play(beep)
}
}
#ドレミファソラシド、ドシラソファミレド
c0<-c(1,9/8,5/4,4/3,3/2,5/3,15/8,2)
c1<-c(c0,rev(c0))
Just_Intonation(c1)
#ドミソ、ドミソ
c0<-c(1,5/4,3/2)
c1<-c(c0,c0)
Just_Intonation(c1)
#ドレソ#、ドレソ#
c0<-c(1,9/8,10/9+16/15-1)
c1<-c(c0,c0)
Just_Intonation(c1)
#ドミ♭ソ、ドミ♭ソ
c0<-c(1,5/4+16/15-1,3/2)
c1<-c(c0,c0)
Just_Intonation(c1)
統計言語Rによる平均律再生
library(tuneR)
#平均律再生関数
Equal_Temperament<-function(note){
f1<-function(x){(440*2^(-3/12))*2^x} #チューンダウン
notes<-f1(note)
for (i in notes) {
beep<- sine(i);
play(beep)
}
}#ドレミファソラシド、ドシラソファミレド
c0<-c(0,2/12,4/12,5/12,7/12,9/12,11/12,1)
c1<-c(c0,rev(c0))
Equal_Temperament(c1)
#ドミソ、ドミソ
c0<-c(1,4/12,7/12)
c1<-c(c0,c0)
Equal_Temperament(c1)
#ドレソ#、ドレソ#
c0<-c(1,2/12,8/12)
c1<-c(c0,c0)
Equal_Temperament(c1)
#ドミ♭ソ、ドミ♭ソ
c0<-c(1,3/12,7/12)
c1<-c(c0,c0)
Equal_Temperament(c1)
平均律は周波数を12回、同じ倍率で大きくすると２倍になるような各１回を半音としています。具体的な倍率は２の12乗根で、1.059463倍です。(計算機でこの数字を12回掛けてみてください)つまり、各半音の幅がきっちり同じなわけです。
純正律は、ある調専用(例えばハ長調限定)の調律法で、長３度和音(ドミソド)の周波数が
完全に整数倍になるように合わせます。平均律で合わせた場合はこの周波数が合いません。ギターで弾くとそれほどの違いは感じられませんし、単音で聞いてこの違いがわかる人もほとんどいないと思われますが、正弦波を発振する装置で両方の和音を聞き比べると
はっきり違いがわかります。チューニングの項で書いた「うなり」が、純正律だと全く発生しないわけです。ただし、ハ長調の純正律に合わせた楽器で別の調の曲を弾くと、平均律以上に狂いが目立ってきますので、いろいろな曲をひとつの楽器で弾く場合は平均律に合わせるのが常識となっています。
なおギターのチューニングは、各フレットが平均律で作られていて、ハーモニックスチューニングをすると弦間が純正律という中途半端な形になります。
それでは離散フーリエ変換によって解析してみましょう。
統計言語Rによるプログラミング例（FFT解析結果表示関数）
Spectrum_disp<-function(x){
N<-length(x)
i <- 0:(N-1)
spec <- fft(x)/N
plot(i, Re(spec), type='h', xaxt='n', yaxt='n', col='blue', lty=3, lwd=2, ylim=c(-0.8,0.8), main='Spectrum by FFT',ylab='Spectrum', xlab='Samples')
par(new=T) #上書き
plot(i, Im(spec), type='h', xaxt='n', yaxt='n', col='red', lty=1, lwd=2, ylim=c(-0.8,0.8), main='',ylab='', xlab='')
axis(1, pos=0, at=0:N, adj=0)
axis(2, at=seq(-1, 1, by=0.25))
legend(0.5, 0.7, legend=c("Real Number","Imaginary Number"), lty=c(3,1), col=c('blue', 'red'), lwd=c(2,2))
}
統計言語Rによるプログラミング例（初期値設定）
N<-12# データ数 N=12
i<-0:(N-1)# 添字(index)の範囲 i
j<-seq(0,2*pi,length=12)# 周期関数のX
基本波形「ド(Do)」の解析
Do<-sin(j)
plot(i, Do, xlab='Time', xlim=c(0,11),ylim=c(-1,1),main="Sampling of Do",type='o')
Spectrum_disp(Do)
純正律(Just intonation)「ドミソ」の合成
Do_j<-sin(j)
Mi_j<-sin(j*5/4)
plot(i, Mi_j, xlab='Samples', xlim=c(0,11),ylim=c(-1,1),main="Sampling of Mi(Just intonation)",type='o')
Spectrum_disp(Mi_j)
So_j<-sin(j*3/2)
plot(i, So_j, xlab='Samples', xlim=c(0,11),ylim=c(-1,1),main="Sampling of So(Just intonation)",type='o')
Spectrum_disp(So_j)
DoMiSo_j<-Do_j+Mi_j+So_j
plot(i, DoMiSo_j, xlab='Samples', xlim=c(0,11),ylim=c(-3,3),main="Sampling of DoMiSo(Just intonation)",type='o')
Spectrum_disp(DoMiSo_j)#スペクトラムの3D表示
library(rgl)
Samples_z<-i
Real_x<-Re(fft(DoMiSo_j))
Imagin_y<-Im(fft(DoMiSo_j))
plot3d(Real_x,Imagin_y,Samples_z)
movie3d(spin3d(axis=c(0,0,1),rpm=5),duration=10,fps=25,movie="~/Desktop/test")
#Movieファイル出力ディレクトリーは環境依存
平均律(Equal Temperament)「ドミソ」の合成
Do_e<-sin(j)
Mi_e<-sin(j*2^(4/12))
plot(i, Mi_e, xlab='Samples', xlim=c(0,11),ylim=c(-1,1),main="Sampling of Mi(Equal Temperament)",type='o')
Spectrum_disp(Mi_e)
So_e<-sin(j*2^(7/12))
plot(i, So_e, xlab='Samples', xlim=c(0,11),ylim=c(-1,1),main="Sampling of So(Equal Temperament)",type='o')
Spectrum_disp(So_e)
DoMiSo_e<-Do_e+Mi_e+So_e
plot(i, DoMiSo_e, xlab='Samples', xlim=c(0,11),ylim=c(-3,3),main="Sampling of DoMiSo(Equal Temperament)",type='o')
Spectrum_disp(DoMiSo_e)
#3D表示
library(rgl)
Samples_z<-i
Real_x<-Re(fft(DoMiSo_e))
Imagin_y<-Im(fft(DoMiSo_e))
plot3d(Real_x,Imagin_y,Samples_z)
movie3d(spin3d(axis=c(0,0,1),rpm=5),duration=10,fps=25,movie="~/Desktop/test")
#Movieファイル出力ディレクトリーは環境依存
Sin波のみの合成なのに、どうしてスペクトラムに実数が？
