【円関数としてのe^XiとLog(Xi)】オイラーの公式によるピタゴラスの定理の限界の超越。

ヤコブ・ベルヌーイ（Jakob Bernoulli、1654年〜1705年）が導出した指数関数e^xに複素数πiを代入すると、所謂「世界で一番美しい方程式」オイラーの等式（Eulers identity）e^πi=(1+πi/N)^N=-1となって半円を描きます。ちなみにそういう具合に式を拡張したの自体は弟子のレオンハルト・オイラー（Leonhard Euler, 1707年〜1783年）の功績。

#オイラーの等式（ヤコブ・ベルヌーイ方式による作図）

Eulers_identity<-function(n){
rim01<-pi*complex(real=0,imaginary=1)
Tarm=c(complex(real=1,imaginary=0),seq(rim01/n,rim01/n,length=n))
Reduce(function(a,b) {a+a*b}, Tarm, accumulate = T)

}
theta <- seq(pi, -pi, length=360) #円周率（ラジアン表記）

Eulers_identity00_plot<-function(n){
plot(cos(theta), sin(theta), xlim=c(-2,1),ylim=c(0,4),type="l",col=rgb(0,1,0), main="Euler’s identity", xlab="Real Expanse", ylab="Imaginary Expanse")
par(new=T) # 上書き指定

plot(Re(Eulers_identity(n)),Im(Eulers_identity(n)),xlim=c(-2,1),ylim=c(0,4),type="l",main="", xlab="", ylab="")

text(0, 0, "0",col=rgb(0,0,0))
text(1, 0, "1",col=rgb(0,0,1))
text(-1, 0, "-1",col=rgb(1,0,0))
text(0, 1, "π",col=rgb(0,1,0))
segments(0,0,1,0,col=rgb(0,0,1))
segments(0,0,-1,0,col=rgb(1,0,0))
}

#アニメーションさせてみる。
library("animation")
Time_Code=c(1,2,4,8,16,32,64,128)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　　Eulers_identity00_plot(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST.gif")

f:id:ochimusha01:20190419000412g:plain

オイラー自身はジョン・ネイピア（John Napier, 1550年〜1617年）の対数表の底「0.9999999」と師匠ベルヌーイの考案したベルヌーイ試行の概念を組み合わせた式(1-1/N)^Nより出発してe^Xi=(1-Xi/N)^Nへと到達したと考えられています。e^πi=(1-πi/N)^N=-1で、反対側の半円を描きます。

#オイラーの等式（オイラー方式による作図）

Eulers_identity<-function(n){
rim01<-pi*complex(real=0,imaginary=1)
Tarm=c(complex(real=1,imaginary=0),seq(rim01/n,rim01/n,length=n))
Reduce(function(a,b) {a-a*b}, Tarm, accumulate = T)

}
theta <- seq(pi, -pi, length=360) #円周率（ラジアン表記）

Eulers_identity00_plot<-function(n){
plot(cos(theta), sin(theta), xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,0),type="l",col=rgb(0,1,0), main="Euler’s identity", xlab="Real Expanse", ylab="Imaginary Expanse")
par(new=T) # 上書き指定

plot(Re(Eulers_identity(n)),Im(Eulers_identity(n)),xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,0),type="l",main="", xlab="", ylab="")

text(0, 0, "0",col=rgb(0,0,0))
text(1, 0, "1",col=rgb(0,0,1))
text(-1, 0, "-1",col=rgb(1,0,0))
text(0, 1, "π",col=rgb(0,1,0))
segments(0,0,1,0,col=rgb(0,0,1))
segments(0,0,-1,0,col=rgb(1,0,0))
}

#アニメーションさせてみる。
library("animation")
Time_Code=c(1,2,4,8,16,32,64,128)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　　Eulers_identity00_plot(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST.gif")

f:id:ochimusha01:20190419001208g:plain

この２つの計算結果は複素図表上において共役関係にあり、両方あわせてe^πi=(1±πi/N)^N=-1と表記し、三平方の定理（ピタゴラスの定理）を応用した円関数x^2+y^2=1を単位円描写に援用した±sqrt(1-x^2)と並べて論じられる事もあったりします。
f:id:ochimusha01:20190522062425g:plain

#オイラーの等式（全周分）

Eulers_identity<-function(n){
rim01<-pi*complex(real=0,imaginary=1)
Tarm=c(complex(real=1,imaginary=0),seq(rim01/n,rim01/n,length=n))
Reduce(function(a,b) {a+a*b}, Tarm, accumulate = T)

}
theta <- seq(pi, -pi, length=360) #円周率（ラジアン表記）
#グラフを描画してみる。
Eulers_identity01_plot<-function(n){
ei01<-Eulers_identity(n)
ei02<-Conj(ei01)
plot(cos(theta), sin(theta), xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",col=rgb(0,1,0), main="Euler’s identity", xlab="Real Expanse", ylab="Imaginary Expanse")
par(new=T) # 上書き指定
plot(Re(ei01),Im(ei01),xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",main="", xlab="", ylab="")
par(new=T) # 上書き指定
plot(Re(ei02),Im(ei02),xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",main="", xlab="", ylab="")
text(0, 0, "0",col=rgb(0,0,0))
text(1, 0, "1",col=rgb(0,0,1))
text(-1, 0, "-1",col=rgb(1,0,0))
text(0, 1, "π",col=rgb(0,1,0))
text(0, -1, "π",col=rgb(0,1,0))
segments(0,0,1,0,col=rgb(0,0,1))
segments(0,0,-1,0,col=rgb(1,0,0))
}

#アニメーションさせてみる。

library("animation")
Time_Code=c(1,2,4,8,16,32,64,128)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　　Eulers_identity01_plot(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST.gif")

f:id:ochimusha01:20190418235412g:plain

実は、かかる見せ方こそが罠。何故ならオイラーの等式（Euler's identity）e^πi=(1±1/N)^N=-1なる式はあくまでオイラーの公式（Euler's fomula）e^θi=Cos(θ)+Sin(θi)＝(1+θi/N)^N=-(1-θi/N)^Nの特別解に過ぎず、こちらには「半円しか描けない」なんて制約は全く存在しないからなのです…
f:id:ochimusha01:20190512232958g:plain

オイラーの公式（1/4周分）

Eulers_identity<-function(n){
rim01<-0.5*pi*complex(real=0,imaginary=1)
Tarm=c(complex(real=1,imaginary=0),seq(rim01/n,rim01/n,length=n))
Reduce(function(a,b) {a+a*b}, Tarm, accumulate = T)

}
theta <- seq(pi, -pi, length=360) #円周率（ラジアン表記）
#グラフを描画してみる。
Eulers_identity01_plot<-function(n){
ei01<-Eulers_identity(n)
ei02<-Conj(ei01)
plot(cos(theta), sin(theta), xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",col=rgb(0,1,0), main="Euler’s identity", xlab="Real Expanse", ylab="Imaginary Expanse")
par(new=T) # 上書き指定
plot(Re(ei01),Im(ei01),xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",main="", xlab="", ylab="")
#par(new=T) # 上書き指定
#plot(Re(ei02),Im(ei02),xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",main="", xlab="", ylab="")
text(0, 0, "0",col=rgb(0,0,0))
text(1, 0, "1",col=rgb(0,0,1))
text(-1, 0, "-1",col=rgb(1,0,0))
text(0, 1, "π",col=rgb(0,1,0))
text(0, -1, "π",col=rgb(0,1,0))
segments(0,0,1,0,col=rgb(0,0,1))
segments(0,0,-1,0,col=rgb(1,0,0))
}

#アニメーションさせてみる。

library("animation")
Time_Code=c(1,2,4,8,16,32,64,128)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　　Eulers_identity01_plot(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST.gif")

f:id:ochimusha01:20190630063059g:plain

オイラーの公式（半周分）

Eulers_identity<-function(n){
rim01<-pi*complex(real=0,imaginary=1)
Tarm=c(complex(real=1,imaginary=0),seq(rim01/n,rim01/n,length=n))
Reduce(function(a,b) {a+a*b}, Tarm, accumulate = T)

}
theta <- seq(pi, -pi, length=360) #円周率（ラジアン表記）
#グラフを描画してみる。
Eulers_identity01_plot<-function(n){
ei01<-Eulers_identity(n)
ei02<-Conj(ei01)
plot(cos(theta), sin(theta), xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",col=rgb(0,1,0), main="Euler’s identity", xlab="Real Expanse", ylab="Imaginary Expanse")
par(new=T) # 上書き指定
plot(Re(ei01),Im(ei01),xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",main="", xlab="", ylab="")
#par(new=T) # 上書き指定
#plot(Re(ei02),Im(ei02),xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",main="", xlab="", ylab="")
text(0, 0, "0",col=rgb(0,0,0))
text(1, 0, "1",col=rgb(0,0,1))
text(-1, 0, "-1",col=rgb(1,0,0))
text(0, 1, "π",col=rgb(0,1,0))
text(0, -1, "π",col=rgb(0,1,0))
segments(0,0,1,0,col=rgb(0,0,1))
segments(0,0,-1,0,col=rgb(1,0,0))
}

#アニメーションさせてみる。

library("animation")
Time_Code=c(1,2,4,8,16,32,64,128)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　　Eulers_identity01_plot(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST.gif")

f:id:ochimusha01:20190630062354g:plain

オイラーの公式（3/4周分）

Eulers_identity<-function(n){
rim01<-1.5*pi*complex(real=0,imaginary=1)
Tarm=c(complex(real=1,imaginary=0),seq(rim01/n,rim01/n,length=n))
Reduce(function(a,b) {a+a*b}, Tarm, accumulate = T)

}
theta <- seq(pi, -pi, length=360) #円周率（ラジアン表記）
#グラフを描画してみる。
Eulers_identity01_plot<-function(n){
ei01<-Eulers_identity(n)
ei02<-Conj(ei01)
plot(cos(theta), sin(theta), xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",col=rgb(0,1,0), main="Euler’s identity", xlab="Real Expanse", ylab="Imaginary Expanse")
par(new=T) # 上書き指定
plot(Re(ei01),Im(ei01),xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",main="", xlab="", ylab="")
#par(new=T) # 上書き指定
#plot(Re(ei02),Im(ei02),xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",main="", xlab="", ylab="")
text(0, 0, "0",col=rgb(0,0,0))
text(1, 0, "1",col=rgb(0,0,1))
text(-1, 0, "-1",col=rgb(1,0,0))
text(0, 1, "π",col=rgb(0,1,0))
text(0, -1, "π",col=rgb(0,1,0))
segments(0,0,1,0,col=rgb(0,0,1))
segments(0,0,-1,0,col=rgb(1,0,0))
}

#アニメーションさせてみる。

library("animation")
Time_Code=c(1,2,4,8,16,32,64,128)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　　Eulers_identity01_plot(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST.gif")

f:id:ochimusha01:20190630063252g:plain

オイラーの公式（１周分）

Eulers_identity<-function(n){
rim01<-2*pi*complex(real=0,imaginary=1)
Tarm=c(complex(real=1,imaginary=0),seq(rim01/n,rim01/n,length=n))
Reduce(function(a,b) {a+a*b}, Tarm, accumulate = T)

}
theta <- seq(pi, -pi, length=360) #円周率（ラジアン表記）
#グラフを描画してみる。
Eulers_identity01_plot<-function(n){
ei01<-Eulers_identity(n)
ei02<-Conj(ei01)
plot(cos(theta), sin(theta), xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",col=rgb(0,1,0), main="Euler’s identity", xlab="Real Expanse", ylab="Imaginary Expanse")
par(new=T) # 上書き指定
plot(Re(ei01),Im(ei01),xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",main="", xlab="", ylab="")
#par(new=T) # 上書き指定
#plot(Re(ei02),Im(ei02),xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",main="", xlab="", ylab="")
text(0, 0, "0",col=rgb(0,0,0))
text(1, 0, "1",col=rgb(0,0,1))
text(-1, 0, "-1",col=rgb(1,0,0))
text(0, 1, "π",col=rgb(0,1,0))
text(0, -1, "π",col=rgb(0,1,0))
segments(0,0,1,0,col=rgb(0,0,1))
segments(0,0,-1,0,col=rgb(1,0,0))
}

#アニメーションさせてみる。

library("animation")
Time_Code=c(1,2,4,8,16,32,64,128)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　　Eulers_identity01_plot(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST.gif")

f:id:ochimusha01:20190630062745g:plain

オイラーの公式（２周分）

Eulers_identity<-function(n){
rim01<-4*pi*complex(real=0,imaginary=1)
Tarm=c(complex(real=1,imaginary=0),seq(rim01/n,rim01/n,length=n))
Reduce(function(a,b) {a+a*b}, Tarm, accumulate = T)

}
theta <- seq(pi, -pi, length=360) #円周率（ラジアン表記）
#グラフを描画してみる。
Eulers_identity01_plot<-function(n){
ei01<-Eulers_identity(n)
ei02<-Conj(ei01)
plot(cos(theta), sin(theta), xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",col=rgb(0,1,0), main="Euler’s identity", xlab="Real Expanse", ylab="Imaginary Expanse")
par(new=T) # 上書き指定
plot(Re(ei01),Im(ei01),xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",main="", xlab="", ylab="")
#par(new=T) # 上書き指定
#plot(Re(ei02),Im(ei02),xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",main="", xlab="", ylab="")
text(0, 0, "0",col=rgb(0,0,0))
text(1, 0, "1",col=rgb(0,0,1))
text(-1, 0, "-1",col=rgb(1,0,0))
text(0, 1, "π",col=rgb(0,1,0))
text(0, -1, "π",col=rgb(0,1,0))
segments(0,0,1,0,col=rgb(0,0,1))
segments(0,0,-1,0,col=rgb(1,0,0))
}

#アニメーションさせてみる。

library("animation")
Time_Code=c(1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　　Eulers_identity01_plot(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST.gif")

f:id:ochimusha01:20190701065405g:plain

正反対方向に展開しても同じ結果となります。

オイラーの公式（1/4周分）

Eulers_identity<-function(n){
rim01<-0.5*pi*complex(real=0,imaginary=1)
Tarm=c(complex(real=1,imaginary=0),seq(rim01/n,rim01/n,length=n))
Reduce(function(a,b) {a+a*b}, Tarm, accumulate = T)

}
theta <- seq(pi, -pi, length=360) #円周率（ラジアン表記）
#グラフを描画してみる。
Eulers_identity01_plot<-function(n){
ei01<-Eulers_identity(n)
ei02<-Conj(ei01)
plot(cos(theta), sin(theta), xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",col=rgb(0,1,0), main="Euler’s identity", xlab="Real Expanse", ylab="Imaginary Expanse")
#par(new=T) # 上書き指定
#plot(Re(ei01),Im(ei01),xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",main="", xlab="", ylab="")
par(new=T) # 上書き指定
plot(Re(ei02),Im(ei02),xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",main="", xlab="", ylab="")
text(0, 0, "0",col=rgb(0,0,0))
text(1, 0, "1",col=rgb(0,0,1))
text(-1, 0, "-1",col=rgb(1,0,0))
text(0, 1, "π",col=rgb(0,1,0))
text(0, -1, "π",col=rgb(0,1,0))
segments(0,0,1,0,col=rgb(0,0,1))
segments(0,0,-1,0,col=rgb(1,0,0))
}

#アニメーションさせてみる。

library("animation")
Time_Code=c(1,2,4,8,16,32,64,128)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　　Eulers_identity01_plot(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST.gif")

f:id:ochimusha01:20190701070059g:plain

オイラーの公式（半周分）

Eulers_identity<-function(n){
rim01<-pi*complex(real=0,imaginary=1)
Tarm=c(complex(real=1,imaginary=0),seq(rim01/n,rim01/n,length=n))
Reduce(function(a,b) {a+a*b}, Tarm, accumulate = T)

}
theta <- seq(pi, -pi, length=360) #円周率（ラジアン表記）
#グラフを描画してみる。
Eulers_identity01_plot<-function(n){
ei01<-Eulers_identity(n)
ei02<-Conj(ei01)
#plot(cos(theta), sin(theta), xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",col=rgb(0,1,0), #main="Euler’s identity", xlab="Real Expanse", ylab="Imaginary Expanse")
par(new=T) # 上書き指定
plot(Re(ei01),Im(ei01),xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",main="", xlab="", ylab="")
par(new=T) # 上書き指定
plot(Re(ei02),Im(ei02),xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",main="", xlab="", ylab="")
text(0, 0, "0",col=rgb(0,0,0))
text(1, 0, "1",col=rgb(0,0,1))
text(-1, 0, "-1",col=rgb(1,0,0))
text(0, 1, "π",col=rgb(0,1,0))
text(0, -1, "π",col=rgb(0,1,0))
segments(0,0,1,0,col=rgb(0,0,1))
segments(0,0,-1,0,col=rgb(1,0,0))
}

#アニメーションさせてみる。

library("animation")
Time_Code=c(1,2,4,8,16,32,64,128)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　　Eulers_identity01_plot(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST.gif")

f:id:ochimusha01:20190701065842g:plain

オイラーの公式（3/4周分）

Eulers_identity<-function(n){
rim01<-1.5*pi*complex(real=0,imaginary=1)
Tarm=c(complex(real=1,imaginary=0),seq(rim01/n,rim01/n,length=n))
Reduce(function(a,b) {a+a*b}, Tarm, accumulate = T)

}
theta <- seq(pi, -pi, length=360) #円周率（ラジアン表記）
#グラフを描画してみる。
Eulers_identity01_plot<-function(n){
ei01<-Eulers_identity(n)
ei02<-Conj(ei01)
plot(cos(theta), sin(theta), xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",col=rgb(0,1,0), main="Euler’s identity", xlab="Real Expanse", ylab="Imaginary Expanse")
#par(new=T) # 上書き指定
#plot(Re(ei01),Im(ei01),xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",main="", xlab="", ylab="")
par(new=T) # 上書き指定
plot(Re(ei02),Im(ei02),xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",main="", xlab="", ylab="")
text(0, 0, "0",col=rgb(0,0,0))
text(1, 0, "1",col=rgb(0,0,1))
text(-1, 0, "-1",col=rgb(1,0,0))
text(0, 1, "π",col=rgb(0,1,0))
text(0, -1, "π",col=rgb(0,1,0))
segments(0,0,1,0,col=rgb(0,0,1))
segments(0,0,-1,0,col=rgb(1,0,0))
}

#アニメーションさせてみる。

library("animation")
Time_Code=c(1,2,4,8,16,32,64,128)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　　Eulers_identity01_plot(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST.gif")

f:id:ochimusha01:20190701070248g:plain

オイラーの公式（１周分）

Eulers_identity<-function(n){
rim01<-2*pi*complex(real=0,imaginary=1)
Tarm=c(complex(real=1,imaginary=0),seq(rim01/n,rim01/n,length=n))
Reduce(function(a,b) {a+a*b}, Tarm, accumulate = T)

}
theta <- seq(pi, -pi, length=360) #円周率（ラジアン表記）
#グラフを描画してみる。
Eulers_identity01_plot<-function(n){
ei01<-Eulers_identity(n)
ei02<-Conj(ei01)
plot(cos(theta), sin(theta), xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",col=rgb(0,1,0), main="Euler’s identity", xlab="Real Expanse", ylab="Imaginary Expanse")
#par(new=T) # 上書き指定
#plot(Re(ei01),Im(ei01),xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",main="", xlab="", ylab="")
par(new=T) # 上書き指定
plot(Re(ei02),Im(ei02),xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",main="", xlab="", ylab="")
text(0, 0, "0",col=rgb(0,0,0))
text(1, 0, "1",col=rgb(0,0,1))
text(-1, 0, "-1",col=rgb(1,0,0))
text(0, 1, "π",col=rgb(0,1,0))
text(0, -1, "π",col=rgb(0,1,0))
segments(0,0,1,0,col=rgb(0,0,1))
segments(0,0,-1,0,col=rgb(1,0,0))
}

#アニメーションさせてみる。

library("animation")
Time_Code=c(1,2,4,8,16,32,64,128)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　　Eulers_identity01_plot(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST.gif")

f:id:ochimusha01:20190701070403g:plain

オイラーの公式（２周分）

Eulers_identity<-function(n){
rim01<-4*pi*complex(real=0,imaginary=1)
Tarm=c(complex(real=1,imaginary=0),seq(rim01/n,rim01/n,length=n))
Reduce(function(a,b) {a+a*b}, Tarm, accumulate = T)

}
theta <- seq(pi, -pi, length=360) #円周率（ラジアン表記）
#グラフを描画してみる。
Eulers_identity01_plot<-function(n){
ei01<-Eulers_identity(n)
ei02<-Conj(ei01)
plot(cos(theta), sin(theta), xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",col=rgb(0,1,0), main="Euler’s identity", xlab="Real Expanse", ylab="Imaginary Expanse")
#par(new=T) # 上書き指定
#plot(Re(ei01),Im(ei01),xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",main="", xlab="", ylab="")
par(new=T) # 上書き指定
plot(Re(ei02),Im(ei02),xlim=c(-2,1),ylim=c(-4,4),type="l",main="", xlab="", ylab="")
text(0, 0, "0",col=rgb(0,0,0))
text(1, 0, "1",col=rgb(0,0,1))
text(-1, 0, "-1",col=rgb(1,0,0))
text(0, 1, "π",col=rgb(0,1,0))
text(0, -1, "π",col=rgb(0,1,0))
segments(0,0,1,0,col=rgb(0,0,1))
segments(0,0,-1,0,col=rgb(1,0,0))
}

#アニメーションさせてみる。

library("animation")
Time_Code=c(1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
　　Eulers_identity01_plot(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST.gif")