なぜ指数関数e^Xi（(1/e)^Xi,log(Xi),1/log(Xi)、さらには-e^Xi,-(1/e)^Xi,-log(Xi),-1/log(Xi)）は円を描くのでしょうか？
その秘密を読み解く為には、まず「2乗すると-1になる」Xi(x*(0+1i))という数を巡る関数の特徴について見ていく必要がありそうです。
一次関数Y=X(x*(1+0i))
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=X(x*(1+0i))")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-5,5)
gs_y<-c(-5,5)
x0=c(-5:5)
#関数1
f1_name<-c("Y=X(Real)")
f1<-function(x){x*(1+0i)}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=X(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(x0,y1,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(x0,y2,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("bottomleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
一次関数Y=Xi(x*(0+1i))
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=Xi(x*(0+1i))")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-5,5)
gs_y<-c(-5,5)
x0=c(-5:5)
#関数1
f1_name<-c("Y=Xi(Real)")
f1<-function(x){x*(0+1i)}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=Xi(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(x0,y1,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(x0,y2,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("bottomleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
両関数の「絶対値（原点からの距離）」を求めると一致します。まずここで実数世界における絶対値概念の通常定義、すなわち「その数から符号を除去したものが絶対値」なる概念の拡張が必要となるのです。
三平方の定理より(0,0) と(a,b) の距離はsqrt(a2+b2)となりますが、特にa=0もしくはb=0の場合に慣れ親しんでいる実数の絶対値の定義と一致します。
一次関数Y=|X|(abs(x*(1+0i)))
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=|X|(abs(x*(1+0i)))")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-5,5)
gs_y<-c(-2,5)
x0=c(-5:5)
#関数1
f1_name<-c("Y=|X|(Real)")
f1<-function(x){abs(x*(1+0i))}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=|X|(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(x0,y1,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(x0,y2,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("bottomleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
一次関数Y=|Xi|(x*(0+1i))
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=|Xi|(x*(0+1i))")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-5,5)
gs_y<-c(-2,5)
x0=c(-5:5)
#関数1
f1_name<-c("Y=|Xi|(Real)")
f1<-function(x){abs(x*(0+1i))}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=|Xi|(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(x0,y1,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(x0,y2,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("bottomleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
そして二次関数において初めて「2乗すると-1になる」Xi(x*(1+0i))という数の特徴が表面化してくる訳です。
２次関数Y=X^2*1^2)
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=X^2*2^2")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-5,5)
gs_y<-c(-5,15)
x0=seq(-5,5,length=60)
#関数1
f1_name<-c("Y=X^2(Real)")
f1<-function(x){(x*(1+0i))^2}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=X^2(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(x0,y1,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(x0,y2,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("bottomleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
描画対象が曲線になった途端「解像度問題（どれくらい滑らかに描くか）」問題が急浮上してきますね。ここではとりあえず「-5から5の区間を60分割」路線で進めます。
２次関数Y=X^2*3^2)の描画解像度
quadratic_function_01<-function(N0){
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=X^2*4^2")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-5,5)
gs_y<-c(-5,15)
x0=seq(-5,5,length=N0)
#関数1
f1_name<-c("Y=X^2(Real)")
f1<-function(x){(x*(1+0i))^2}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=X^2(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(x0,y1,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(x0,y2,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("bottomleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
}library("animation")
Time_Code=c(3,5,7,15,30,60,30,15,7,5)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
quadratic_function_01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST.gif")
＊ところで、ここで扱う冪（べき）乗算において指数関数的に目盛りの単位が増大していく問題と、マクローリン展開が「好きなだけ微細な桁数まで近似値を算出する計算」である事の対比は、指数関数でいうa^xと1/(a^x)の関係に対応しています。もちろんマクローリン展開の場合はf(x)=Σ(n=0~∞)(f(n)(0)/n!*x^n)=f(0)+f′(0)x+f′′(0)/2!*x^2+f(n)(0)/n!*x^n…と 、微分と絡めもっと精緻な考察を経る訳ですが…
2次関数Y=Xi^2*5^2)…結果がy=-x^2と一致。
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=Xi^2*6^2)")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-5,5)
gs_y<-c(-15,5)
x0=seq(-5,5,length=60)
#関数1
f1_name<-c("Y=Xi^2(Real)")
f1<-function(x){(x*(0+1i))^2}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=Xi^2(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(x0,y1,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(x0,y2,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("topleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
やはり両関数の「絶対値（原点からの距離）」は一致します。そして実数の２次関数の値は「絶対値（原点からの距離）」そのもの…
２次関数Y=|X^2|*7^2))
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=|X^2|*8^2)")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-5,5)
gs_y<-c(-5,15)
x0=seq(-5,5,length=60)
#関数1
f1_name<-c("Y=|X^2|(Real)")
f1<-function(x){(abs(x*(1+0i))^2)}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=|X^2|(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(x0,y1,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(x0,y2,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("bottomleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
２次関数Y=|Xi^2|*9^2))
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=|Xi^2|(abs*10^2))")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-5,5)
gs_y<-c(-5,15)
x0=seq(-5,5,length=60)
#関数1
f1_name<-c("Y=|Xi^2|(Real)")
f1<-function(x){(abs(x*(0+1i))^2)}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=|Xi^2|(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(x0,y1,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(x0,y2,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("bottomleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
３次関数以上では実数のみの関数と複素数も含む関数の振る舞いの相違がさらに顕著な形で現れてきます。
３次関数Y=X^3*11^3)
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=X^3*12^3")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-5,5)
gs_y<-c(-60,60)
x0=seq(-5,5,length=60)
#関数1
f1_name<-c("Y=X^3(Real)")
f1<-function(x){(x*(1+0i))^3}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=X^3(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(x0,y1,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(x0,y2,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("bottomleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
3次関数Y=Xi^3*13^3)
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=Xi^3*14^3)")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-5,5)
gs_y<-c(-60,60)
x0=seq(-5,5,length=60)
#関数1
f1_name<-c("Y=Xi^3(Real)")
f1<-function(x){(x*(0+1i))^3}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=Xi^3(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(x0,y1,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(x0,y2,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("bottomleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
４次関数Y=X^4*15^4)
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=X^4*16^4")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-5,5)
gs_y<-c(-30,120)
x0=seq(-5,5,length=60)
#関数1
f1_name<-c("Y=X^4(Real)")
f1<-function(x){(x*(1+0i))^4}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=X^4(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(x0,y1,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(x0,y2,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("bottomleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
4次関数Y=Xi^4*17^4)
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=Xi^4*18^4)")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-5,5)
gs_y<-c(-30,120)
x0=seq(-5,5,length=60)
#関数1
f1_name<-c("Y=Xi^4(Real)")
f1<-function(x){(x*(0+1i))^4}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=Xi^4(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(x0,y1,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(x0,y2,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("bottomleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
それでも両関数の「絶対値（原点からの距離）」はあくまで一致しているのです。
3次関数Y=|X^3|*19^3))
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=|X^3|*20^3)")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-5,5)
gs_y<-c(-7,30)
x0=seq(-5,5,length=60)
#関数1
f1_name<-c("Y=|X^3|(Real)")
f1<-function(x){(abs(x*(1+0i))^3)}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=|X^3|(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(x0,y1,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(x0,y2,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("bottomleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
3次関数Y=|Xi^3|*21^3))
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=|Xi^3|(abs*22^3))")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-5,5)
gs_y<-c(-7,30)
x0=seq(-5,5,length=60)
#関数1
f1_name<-c("Y=|Xi^3|(Real)")
f1<-function(x){(abs(x*(0+1i))^3)}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=|Xi^3|(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(x0,y1,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(x0,y2,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("bottomleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
４次関数Y=|X^4|*23^4))
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=|X^4|*24^4)")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-5,5)
gs_y<-c(-30,120)
x0=seq(-5,5,length=60)
#関数1
f1_name<-c("Y=|X^4|(Real)")
f1<-function(x){(abs(x*(1+0i))^4)}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=|X^4|(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(x0,y1,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(x0,y2,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("bottomleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
４次関数Y=|Xi^4|*25^4))
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=|Xi^4|(abs*26^4))")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-5,5)
gs_y<-c(-30,120)
x0=seq(-5,5,length=60)
#関数1
f1_name<-c("Y=|Xi^4|(Real)")
f1<-function(x){(abs(x*(0+1i))^4)}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=|Xi^4|(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(x0,y1,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(x0,y2,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("bottomleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
連続して眺めてみましょう。こうしてみると実数のみの冪（べき）乗算では複素数部がずっと0のままに見えますが、実は指数が小数点を含む場合は結構（絶対値を実数部と一致させる為に）動いてます。まるで「達磨さんが転んだ」の様に…
N次関数Y=X^N*27^N) (N=0~4)
Real_function_01<-function(N0){
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=X^N*28^N (N=0~4)")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-5,5)
gs_y<-c(-60,60)
x0=seq(-5,5,length=60)
#関数1
f1_name<-c("Y=X^N(Real)")
f1<-function(x){(x*(1+0i))^N0}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=X^N(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(x0,y1,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(x0,y2,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("bottomleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
}library("animation")
Time_Code=c(seq(0,4,length=40),seq(4,0,length=40))
saveGIF({
for (i in Time_Code){
Real_function_01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST.gif")
N次関数Y=X^N*29^N) (N=1~2)
Real_function_01<-function(N0){
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=X^N*30^N (N=1~2)")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-5,5)
gs_y<-c(-5,5)
x0=seq(-5,5,length=60)
#関数1
f1_name<-c("Y=X^N(Real)")
f1<-function(x){(x*(1+0i))^N0}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=X^N(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(x0,y1,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(x0,y2,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("bottomleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
}library("animation")
Time_Code=c(seq(1,2,length=10),seq(2,1,length=10))
saveGIF({
for (i in Time_Code){
Real_function_01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST.gif")
N次関数Y=X^N*31^N) (N=2~3)
Real_function_01<-function(N0){
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=X^N*32^N (N=2~3)")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-5,5)
gs_y<-c(-30,30)
x0=seq(-5,5,length=60)
#関数1
f1_name<-c("Y=X^N(Real)")
f1<-function(x){(x*(1+0i))^N0}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=X^N(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(x0,y1,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(x0,y2,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("bottomleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
}library("animation")
Time_Code=c(seq(2,3,length=10),seq(3,2,length=10))
saveGIF({
for (i in Time_Code){
Real_function_01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST.gif")
N次関数Y=X^N*33^N) (N=3~4)
Real_function_01<-function(N0){
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=X^N*34^N (N=3~4)")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-5,5)
gs_y<-c(-30,30)
x0=seq(-5,5,length=60)
#関数1
f1_name<-c("Y=X^N(Real)")
f1<-function(x){(x*(1+0i))^N0}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=X^N(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(x0,y1,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(x0,y2,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("bottomleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
}library("animation")
Time_Code=c(seq(3,4,length=10),seq(4,3,length=10))
saveGIF({
for (i in Time_Code){
Real_function_01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST.gif")
そして複素数を含む冪（べき）乗算では奇関数と偶関数の変わり目に「実数部と複素数部の交代」が起こります。
多項式の場合，偶関数なのか奇関数なのかどちらでもないのか，項の次数を見ることで簡単に見分けることができます。sinx や cosx などもマクローリン展開を知っていればこの判別方法が通用します。
N次関数Y=X^N*35^N) (N=0~4)
Real_function_01<-function(N0){
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=X^N*36^N (N=0~4)")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-5,5)
gs_y<-c(-60,60)
x0=seq(-5,5,length=60)
#関数1
f1_name<-c("Y=X^N(Real)")
f1<-function(x){(x*(0+1i))^N0}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=X^N(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(x0,y1,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(x0,y2,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("bottomleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
}library("animation")
Time_Code=c(seq(0,4,length=40),seq(4,0,length=40))
saveGIF({
for (i in Time_Code){
Real_function_01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST.gif")
N次関数Y=Xi^N*37^N) (N=1~2)
Real_function_01<-function(N0){
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=X^N*38^N (N=1~2)")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-5,5)
gs_y<-c(-5,5)
x0=seq(-5,5,length=60)
#関数1
f1_name<-c("Y=Xi^N(Real)")
f1<-function(x){(x*(0+1i))^N0}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=Xi^N(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(x0,y1,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(x0,y2,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("bottomleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
}library("animation")
Time_Code=c(seq(1,2,length=10),seq(2,1,length=10))
saveGIF({
for (i in Time_Code){
Real_function_01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST.gif")
N次関数Y=Xi^N*39^N) (N=2~3)
Real_function_01<-function(N0){
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=Xi^N*40^N (N=2~3)")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-5,5)
gs_y<-c(-30,30)
x0=seq(-5,5,length=60)
#関数1
f1_name<-c("Y=Xi^N(Real)")
f1<-function(x){(x*(0+1i))^N0}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=Xi^N(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(x0,y1,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(x0,y2,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("bottomleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
}library("animation")
Time_Code=c(seq(2,3,length=10),seq(3,2,length=10))
saveGIF({
for (i in Time_Code){
Real_function_01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST.gif")
N次関数Y=X^N*41^N) (N=3~4)
Real_function_01<-function(N0){
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=Xi^N*42^N (N=3~4)")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-5,5)
gs_y<-c(-30,30)
x0=seq(-5,5,length=60)
#関数1
f1_name<-c("Y=Xi^N(Real)")
f1<-function(x){(x*(0+1i))^N0}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=Xi^N(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(x0,y1,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(x0,y2,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("bottomleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
}library("animation")
Time_Code=c(seq(3,4,length=10),seq(4,3,length=10))
saveGIF({
for (i in Time_Code){
Real_function_01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST.gif")
まさにこの特徴とマクローリン展開を組み合わせる事によって、オイラーの公式e^Xi=cos(X)+sin(Xi)は証明された訳ですね。もちろん「奇関数と偶関数が無限に連続する」なるという指数関数の特徴こそが、この公式が成立する前提となっています。
冪演算（Exponentiation）Y=X^NやY=Xi^Nは次元数が上がれば上がるほど増率が加速し、以下の形に収束していきます。
- Y=±Xi^±Nの極限=x=-1,半径1の単位円の直径分({0,-1}-{0,1}),x=1
- X=±Yi^±Nの極限=y=-1,半径1の単位円の直径分({-1,0}-{1-0}),y=1
N次関数Y=X^N*43^N) (N=0~8)
Real_function_01<-function(N0){
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=X^N*44^N (N=0~8)")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-5,5)
gs_y<-c(-60,60)
x0=seq(-5,5,length=60)
#関数1
f1_name<-c("Y=X^N(Real)")
f1<-function(x){(x*(1+0i))^N0}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=X^N(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(x0,y1,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(x0,y2,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("bottomleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
}library("animation")
Time_Code=c(seq(0,8,length=80),seq(8,0,length=80))
saveGIF({
for (i in Time_Code){
Real_function_01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST08.gif")
N次関数Y=X^N*45^N) (N=0~8)
Real_function_01<-function(N0){
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=X^N*46^N (N=0~8)")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-5,5)
gs_y<-c(-60,60)
x0=seq(-5,5,length=60)
#関数1
f1_name<-c("Y=X^N(Real)")
f1<-function(x){(x*(0+1i))^N0}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=X^N(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(x0,y1,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(x0,y2,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("bottomleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
}library("animation")
Time_Code=c(seq(0,8,length=80),seq(8,0,length=80))
saveGIF({
for (i in Time_Code){
Real_function_01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST08i.gif")
もちろんX=±Yi^±NはY=log(±Ni,base=Xあるいは1/X)の形に直せますね。（ただ単にX座標とY座標を入れ替えただけの）「解像度粗め」設定だとこうした挙動がより明確となります。
N次関数Y=log(x,base=N)=log(x*(1+0i),base=N) (N=0~8)
Real_function_01<-function(N0){
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=log(x,base=N)=log(x*(1+0i),base=N) (N=0~8)")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-60,60)
gs_y<-c(-5,5)
x0=seq(-60,60,length=60)
#関数1
f1_name<-c("log(x,base=N)(Real)")
f1<-function(x){(x*(1+0i))^N0}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=log(x,base=N)(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(y1,x0,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(y2,x0,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("bottomleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
}library("animation")
Time_Code=c(seq(0,8,length=80),seq(8,0,length=80))
saveGIF({
for (i in Time_Code){
Real_function_01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST08rr.gif")
N次関数log(x,base=N)=log(x*(0+1i),base=N) (N=0~8)
Real_function_01<-function(N0){
#タイトル定義
Main_title<-c("Y=log(x*(0+1i),base=N) (N=0~8)")
x_title<-c("Real Expanse")
y_title<-c("Imaginaly Expanse")
#グラフのスケール決定
gs_x<-c(-60,60)
gs_y<-c(-5,5)
x0=seq(-60,60,length=60)
#関数1
f1_name<-c("Y=log(x*(0+1i),base=N)(Real)")
f1<-function(x){(x*(0+1i))^N0}
y1<-Re(f1(x0))
#関数2
f2_name<-c("Y=log(x*(0+1i),base=N)(Imaginal)")
y2<-Im(f1(x0))
#グラフの色の決定
Black<-rgb(0,0,0)
Red<-rgb(1,0,0)
Magenta<-rgb(1,0,1)
Blue<-rgb(0,0,1)
Green<-rgb(0,1,0)
Cyan<-rgb(0,1,1)
Yellow<-rgb(1,1,0)
Gray<-"#777777"
#グラフ描画
plot(y1,x0,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Blue, main=Main_title,xlab=x_title,ylab=y_title)
par(new=T)#上書き指定
plot(y2,x0,xlim=gs_x,ylim=gs_y,type="l",col=Green, main="",xlab="",ylab="")
#基準線
#abline(h=0,,col=Gray)
abline(v=0,,col=Gray)
#凡例描画
legend("bottomleft", legend=c(f1_name,f2_name),lty=c(1,1),col=c(Blue,Green))
}library("animation")
Time_Code=c(seq(0,8,length=80),seq(8,0,length=80))
saveGIF({
for (i in Time_Code){
Real_function_01(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST08ri.gif")
全ての展開の中心は「（半径１の円弧）基本円」と「直交」？
*1:x*(1+0i
*2:x*(1+0i
*3:x*(1+0i
*4:x*(1+0i
*5:x*(0+1i
*6:x*(0+1i
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