「諸概念の迷宮(Things got frantic)」用語集

本編で頻繁に使うロジックと関連用語のまとめ。

【「諸概念の迷宮」用語集】円運動と数列/要素集合の往復

むしろ「キミとボクとの邂逅確率」を到達不能e^-1=(1-1/N)^N(N面体をN回降って特定の目が出ない確率)=0.3678794…と置き、それに対してどういうアプローチが図られてきたか履歴をまとめる方が有意義とか? ちなみに「キミとボクとの邂逅距離(直線距離を直径2と置いて円周移動による増分を求める)」を到達不能e^1=(1+1/N)^N(N回刻んで接近を図る漸近アプローチ)=2.718282…と置く事も出来ますが…そもそもこの計算どうして「符号が正だと距離近似イメージ、符号が負だと確率近似イメージ」になるのか理解出来てなかったりして…

この説明、圧倒的に文章量が足りてませんね。まずは数理的背景の確認から。

①原点を中心に距離Inf(無限大)で評価軸がN次元の観測線(Target Line)/観測円(Target Circle)/観測球面(Target Sphere)を設定する。

  • この時点における各評価軸の値はピタゴラスの定理r(半径)=sqrt(x^2+y^2+z^2+…)(ただしr=x=y=z=Inf)Iに従ってInf(無限大)で固定される。

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 ②この観測線/観測円/観測球面上に単位線/(Unit Line)単位円(Unit Circle)/単位球面(Unit Sphere)を設定する事を考える。

  • 指数関数(Exponential Function)a^xについて考える。数列(Numerical Sequence)として考えた場合、aはその等比数列(Geometric Sequence=幾何数列)における公比(Common Ratio)、xはその等比数列における添字(Index)と目される。

  • その値、すなわち等比数列で考えた場合の(Term)の値は「aの符号がの時はずっとのまま、aの符号がの時は添字(Index)の符号の偶奇によって符号が入れ替わる」「|a|=1の時、|a|の値は1のまま」「|a|<1の時、無限小(1/Inf=0)に収束」「|a|<1の時、無限大(Inf)に発散」となる。

  • ここで実数概念(Real Number Concept)1^x=1に対応する虚数概念(Imaginaly Number Concept)i^2=-1導入(Introduce)して描画範囲を複素平面(Complex Plane)に拡大してみよう。途中経路が補完されて-a^x→a*i^2^x=a*i^2x(aは正数)は「a=1の時半径1の円/球面」「a<1の時半径1から出発し、その半径が周期に応じて無限小(1/Inf=0)へと収束していく螺旋(Spiral)」「a>1の時半径1から出発し、その半径が周期に応じて無限大(1/Inf=0)へと拡散していく螺旋(Spiral)」を描く。
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  • 円運動もその描画過程を時間単位に分解すると螺旋(Helix)を描いている。
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    XY軸円弧
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    ZX軸Cos波
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    ZY軸Sin波

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  • 観測線/観測円/観測球面を設定するとは、ここでいう1(Inf/Inf)の値、すなわち「運動に従って0に収束する事も無限大に発散する事もない公比(周期)」を求める事であり、その結果として半径rの値にのみ依存する同心円イメージが構築可能となる。20200109155657.gif

    *実は物理学の世界では、この1を重力と置いて等速円運動をある種の無限落下運動として扱う。ここでは説明は割愛。

③実際にこの「1」を実現する周期(等比数列の公比, 指数関数の根)の求め方としては、近世以降以下が知られる様になった。要するにそこで求めているのは円周率π同様に無限遠(Infinity)、すなわち何らかの形で単位円/単位球上における任意の原蹠(Portal)からの無限遠(Infinity)すなわち対蹠(Antipodal)の位置を示す数値である点が重要。

  • 開封(分割数0)の籤引きセットの外れ率は0,出目が4個ある4面体サイコロ4回振って特定の目が出ない確率は(1-1/4)^4=0.3164062、出目が6個ある6面体サイコロ6回振って特定の目が出ない確率は(1-1/6)^6で0.334898、出目が8個ある8面体サイコロ8回振って特定の目が出ない確率は(1-1/8)^8で0.334898、出目が12個ある12面体サイコロ12回振って特定の目が出ない確率は(1-1/12)^12で0.3519956、出目が20個ある20面体サイコロ20回振って特定の目が出ない確率は(1-1/20)^20で0.3584859で、その極限値は概ね0.3678794(e^-1=1/e)辺りに収束。
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  • 年1回配当で預金が2倍となる複式簿記商品の配当回数を増やす場合を想定する(該当期間/配当回数は一定)。配当回数1(1+1/1)^1=2倍配当回数2(1+1/2)^2=2.25倍配当回数3(1+1/3)^3=2.37037倍配当回数4(1+1/4)^4=2.441406倍配当回数5(1+1/5)^5=2.48832倍配当回数6(1+1/6)^6=2.521626倍配当回数7(1+1/4)^7=4.768372倍、その極限値は概ね2.718282(e^1)辺りに収束。
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  • これら「ネイピア定数」を根とする自然指数関数(Natural Exponential Function)や自然対数関数(Natural Logarithm Function)に添字としてθiを与えると単位円上の指定箇所を示す。オイラーの公式(Euler's formula)e^θi=cos(θ)+sin(θ)i=±i^cos(θ)は「複素平面上での円描画(直交座標系)」と「三角関数による角度計算(極座標)」と「円関数(等差数列)」の変換式として機能する。
    指数関数exp(-1~0)^θi
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    指数関数exp(0~1)^θi
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④ところで自然指数関数自然対数関数は「(同様に無限遠点を消失点とする)対数尺=透視図法」を扱う関数でもある。従って上掲概念の導入によって「無限遠点における矩形描画関数と円描画関数と双曲線関数の交換」も同時実現する。

この時、目盛りとして現るのは(物差の様な均等尺でなく(透視図法の様な片対数尺である点に注意。
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  • 近世に樹立された「大数弱の法則」をより厳密化した推計統計学に欠かせない正規分布はこうした操作から導出された。上掲のネイピア数の導出過程を見ても明らかな様に「近似」と「統計」は少なくとも陸続きの関係にはあるのである。
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  • 実際MCMC(Markov chain Monte Carlo methods)法においては「統計するとそれらしい分布が推計されるデータ生成」なんて概念まで登場してくる。

  • ところでこうした諸概念の視覚的最終到達地点は、ある意味リーマン球面(Riemann sphere)すなわち「半径1(Inf/Inf)の単位円を赤道北極を0(1/Inf),南極を無限遠(Inf)に設定した観測球面」を経た三点透視図法という事になる。要するに「我々が生きている現実そのものとしての仮想現実(Virtial Reality)」という話に。

この様に円運動と(必要にして十分なだけの周期性や統計的有意性の認められる数列/要素集合が数理的に容易に往復可能だと何が嬉しいって(小説や映画やアドベンチャー・ゲームの様な)原則として時系列に従って状況がマルコフ連鎖的に進行するタイプのコンテンツの物語文法の解析と進行管理が実に楽になるのです。