別に数学書学者としての私は「数学Girl」の様な「チュートリアルとして整備された」数学へのアプローチ自体を否定する訳ではありません。ただ数学書学者としての私は数理の効率的習得自体より「浅瀬でパシャパシャ遊んでただけの筈だったのに、突如未知の怪物に襲われる」シチュエーションそのものに鍛えられたいと考えているだけなのです。年を取れば取るほど、そういう機会がどんどん減っていくものですから…
多くの人は単一の無矛盾的な行動規範を与えれば子どもはすくすくと成長すると考えているけれど、これはまったく愚かな考えであって、これこそ子どもを成熟させないための最も効率的な方法なのである。
成熟というのは簡単に言えば「自分がその問題の解き方を習っていない問題を解く能力」を身に付けることである。
成人の条件というのは「どうふるまってよいかわからないときに、どうふるまうかを知っている」ということである。
まぁまさにこれを習得する手段として数学独習は向いているという話なんですね。
以下のソースはこちら。
ここまでの概念なら普通に横溢してる様です？
デカルトが扱ったのは、もっとも素直な座標系＝直交座標系であった。座標原点という基準点があって、そこからの点の位置の偏りを互いに直交する３方向への成分として表す。この位置を表す３成分＝直交座標であるが、その仕組みから、これもあとづけながら、位置ベクトルの成分＝座標、と言っても同じことである。これはやがて、一般のベクトルの成分表示につながって行くことになる。
一方で、極座標とかのいわゆる曲線座標というものもある。こちらは、とにかく、点に数を対応させて、点の位置を識別すればよいということで、ある意味、融通無碍、節操のない方法でもある。一方で、自然科学に目を向けると、観測対象があって、その状態を識別するために様々な物理量が使われるのと様子が似ている。様々な物理量を測定することで、扱っている物質の状態を記述するということなので、これも一種の座標と呼んでよかろう。
その背景には、素朴な実在論がある。観測対象が、観測行為とは独立に存在し、実験ないし観測は、それに対して数量を対応させることなので。この意味での「座標系」に、偶然要因による変動を許したものが、確率論でいうところの確率変数に他ならない。
素朴な実在論は、量子論によって否定されることになるのであるが、では、量子論的な座標の概念が確立したかというと、それがなかなか。根源的な問は、とりあえず置いて、道具の使い方にひたすら磨きをかけてきたのが、この１００年間の状況である。ただ、非常に面白いところは、直交座標系の背後にある「直交ベクトル空間」をとことん追求したものは、量子論の数学的構造そのものにたどり着くという不思議。
とりあえずオイラーの(Eulerian)φ関数1/2/3/5…と多面体定理(Polyhedral Theorem)V(ertex=頂点)−E(dge=辺)+F(ace=面)=2(計算上の始点にして終点となる一対の対蹠数。二次元上の多面体ではこれをコインの表裏に該当する2とも平面故の0とも換算可能)の関係を調べた以下の投稿では、とりあえず直交の概念に対応するのは素数族2^nと3^n及びその積(Product)2^n3^mのみなる結論に至っています。
①プラトン立体(Platonic Solid)五種で言うと正四面体(Regular Tetrahedron)、正六面体(Cube=立方体)、正八面体(Regular Octahedron)の範囲で、正六面体は単独、正四面体と正八面体はセットで空間充填(Space-filling)性を備える。
立方体による空間充填（辺のみ可視化）
正四面体と正八面体による空間充填
また素数族2^n3^mを平面上に全射影した正六角形(Regular Hexagon)は(p-2)q=2p(正p角形の内角をq倍すると2πラジアン/360°になる組み合わせでこの場合p=6/q=3,2π/3=120°)の条件を満たし平面充填(Tessellation)性のみを備える。
ちなみに平面充填性自体は素数族2^2を平面上に全射影した正方形(Square,p=4/q=4,2π/4=π/2=90°)と素数族3^1を平面上に全射影した正三角形(Equilateral Triangle,p=3/q=6,2π/6=π/3=60°)も備える。どちらも合計4なのは、果たして偶然なのか…
②そして同心円展開上、同構造の再構築を繰り返す(連続同心円を描く)のもまた正方形と正三角形のみなのである。
正方形の場合
| Target_size | Target_names | Target_values | |
|---|---|---|---|
| 1 | 2^-1 | 2^-1(2^-0.5r) | 0.5 |
| 2 | 2^-1 | 2^-1d=2^-1*4 | 1 |
| 3 | 2^-1 | 2^-1a1=2^0a0 | sqrt(2)=1.414214 |
| 4 | 2^-1 | 2^-1a1(2^-0.5a0)*4 | 4sqrt(2)=5.656854 |
| 5 | 2^-0.5 | 2^-0.5(2^0r) | sqrt(2)/2=0.7071068 |
| 6 | 2^-0.5 | 2^-0.5d=2^-0.5*4 | sqrt(2)=1.414214 |
| 7 | 2^-0.5 | 2^-0.5a1=2^0a0 | 1 |
| 8 | 2^-0.5 | 2^-1a1(2^0.5a0)*4 | 4 |
| 9 | 2^0 | 2^0(2^-0.5R,2^0.5r) | 1 |
| 10 | 2^0 | 2^0d=2^0*4 | 2 |
| 11 | 2^0 | 2^0a1=2^0.5a0 | sqrt(8)=2sqrt(2)=2.828427 |
| 12 | 2^0 | 2^0a1(2^0.5a0)*4 | sqrt(32)=4sqrt(2)=5.656854 |
| 13 | 2^0.5 | 2^0.5(2^-0R,2^1r) | sqrt(2)=1.414214 |
| 14 | 2^0.5 | 2^0.5d=2^0.5*4 | 2sqrt(2)=2.828427 |
| 15 | 2^0.5 | 2^0.5a1=2^1a0 | 4 |
| 16 | 2^0.5 | 2^0.5a1(2^0a0)*4 | 8 |
| 17 | 2^1 | 2^1(2^1-0.5R,2^0.5r) | 2 |
正三角形の場合
| Target_size | Target_names | Target_values | |
|---|---|---|---|
| 1 | 3^-1 | 3^-1(3^0r) | 1/2=0.5 |
| 2 | 3^-1 | 3^-1h=3^-1*3 | 3/2=1.5 |
| 3 | 3^-1 | 3^-1a1=3^0a0 | 2*sqrt(1.5)=2.44949 |
| 4 | 3^-1 | 3^-1a1(3^0a0)*3 | 6*sqrt(1.5)=7.348469 |
| 5 | 3^0 | 3^0(3^-1R,3^1r) | 1.0 |
| 6 | 3^0 | 3^0h=3^0*3 | 3.0 |
| 7 | 3^0 | 3^0a1=3^1a0 | 2*sqrt(3)=3.464102 |
| 8 | 3^0 | 3^0a1(3^1a0)*3 | 6*sqrt(3)=10.3923 |
| 9 | 3^1 | 3^1(3^0R) | 3.0 |
通例、多角形にも立体にも数えない二辺形(Bilateral)すなわち均等尺(Even Scale)や対数尺(Logarithmic Scale)や(Cos波やSin波の様な)円状尺(Circular Scale)をポテンシャルとして備える任意の円/球面の対蹠(Antipodes)間における直線的往復(linear Reciprocating Motion)/単振動(Simple Vibration)概念は、(半径1の単位円を生成する)複素数関数-1^x=(0±1i)^2xや(-Inf⇄0⇄Infの範囲の均等尺を0⇄1⇄Infの範囲の対数尺に射影した結果現れる)ネイピア数exp(1)(2.718282)を根とする等比数列、すなわち自然指数関数と自然対数関数の振る舞いに密接に関係してくるが(上に列記した素数族2^n導入に伴う諸現象の原因となるだけで)こうした(-a^xのaが1以上や1以下の場合を想定する)連続同心円展開自体は含まない。
③逆にいえば素数族5^nを要素に含む正十二面体(Regular Dodecahedron)や正二十面体(Regular Icosahedron)は直交の概念から完全に離れ、素数族7^n以上を要素に含む多角形はもはや正多面体を構成しない(辺数が増大するにつれその多角形の内接円と外接円の半径差が0へと収束していくのみ)。後者はある意味無限大Infの頂点数と無限小-Infの辺長によって構成され、全頂点が「中心からの距離が全て均等で」「中心から下ろした垂線と垂直に交わる」性質しか備えない円概念に回帰してしまう様にも見て取れる(なるほど円概念には当初からこういう形で無限大の概念と無限小の概念が内包されているのである!! 文章にまとめる過程で初めて気付いた…)。
④こうして全体像を俯瞰してみると(数理が観測結果集合から演算結果集合に立脚する様になる)1次元未満の空間においては確率演算(Probability Operation)や複素数表現(Complex Expression)が全てであり、実数表現(Real Expression)が可能となる1次元以上の空間においても平面充填条件(p-2)q=2pを満たさない多角形やオイラーの多面体定理V−E+F=2の条件を満たさない多面体などについて記述する上で確率演算や複素数表現が欠かせない。この辺りの実数的安定性(Real Stability)と(確率演算/複素数表現を要する)虚数的不安定性(Imaginal Instability)の交代性はある意味偶奇性(Parity)の本質で(要するに対蹠が通ってデカルト座標系に収まるかどうかが重要。対蹠が通ってない「奇数次元」では、そもそも対蹠の概念が存在しない原始段階を除き、それぞれの対蹠からの対象な展開を一対で扱う事になる。数としての偶数と奇数の関係というより偶関数と奇関数の関係に近いイメージ)、Linuxカーネルのバージョン管理が偶数系を安定バージョン、奇数形を開発バージョンとするのもこの辺りの概念にインスパイアされての事かもしれない。
これで長年の夢だった「オイラーのφ関数1/2/3/5/7…」と「公式e^iθ=cos(θ)+sin(θ)i」と「多面体定理V−E+F=2」の統合に成功したっぽい？ 全体を結び付けたのは円弧および球面において北極と南極にあたる対蹠(Antipodes)の概念…しかしもちろん、オイラーの残した謎掛けはこれだけに留まらなかったのです。そんな感じで以下続報…
アニメーションを反時計回りで統一。
