以下は指数関数π^xのグラフです。
#オイラーの原子量（Euler’s primitive sweep）と指数関数π^x（Euler’s primitive sweep & π^x）
pix<-function(n){
theta <- seq(pi, -pi, length=360)
plot(cos(theta), sin(theta),xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2), type="l",col=rgb(0,1,0), main="Euler’s primitive sweep & y=π^x", xlab="Size index", ylab="π^x")par(new=T)#上書き指定
plot(pi*cos(theta)+1, pi*sin(theta),xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2), type="l",col=rgb(0,1,0), main="", xlab="", ylab="")
par(new=T)#上書き指定
plot(cos(theta)/pi-1/pi, sin(theta)/pi,xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2), type="l",col=rgb(0,1,0), main="", xlab="", ylab="")#π^xのアニメーション部
pix_pitch=function(x) ifelse(x<0,x*1/pi,x*1)
polygon(cos(theta)*pi^n+pix_pitch(n), #x
sin(theta)*pi^n, #y
density=c(30), #塗りつぶす濃度
angle=c(45), #塗りつぶす斜線の角度
col=rgb(0,1,0)) #塗りつぶす色
text(0, 0, "0",col=rgb(0,0,0))
text(1, 0, "1",col=rgb(0,0,1))
text(-1, 0, "-1",col=rgb(1,0,0))
text(0, 1, "π",col=rgb(0,1,0))
text(0, -1, "π",col=rgb(0,1,0))
segments(0,0,1,0,col=rgb(0,0,1))
segments(0,0,-1,0,col=rgb(1,0,0))
}
#アニメーションさせてみる。
library("animation")
Time_Code=c(-1.0,-0.9,-0.8,-0.7,-0.6,-0.5,-0.4,-0.3,-0.1,0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0)
saveGIF({
for (i in Time_Code){
pix(i)
}
}, interval = 0.1, movie.name = "TEST.gif")
このグラフ「右から巨大な球が右を通過していく」様に見えませんか？ 反時計回りに90度回転させると頭上を...
さらに90度回転させると今度は左を…
さらに90度回転させると眼下を…
それぞれ巨大な球が通過していく様に見えなくもありません。さらにプログラム中で奇妙な事をしてるのが分かりますか？
同じテクニックはここでも使ってます。あえてイメージとして重ねるなら視界前方（指数サイズ-1以下）の「無視可能な状態（Ignorable State = 1/(root^x)）」から現れ、視界後方（指数サイズ+1以以上）に去る「有意味な増大（Significant Increase = root^x）」を巧みに捌いてる（上下左右に動いて衝突を回避している）感じでしょうか。
要するにこれは区間が「-x…-1,0,1…x」と等間隔の連続尺度的に推移するにつれ区間距離が「1/底(root)^x…1/底(root),1（底(root)/底(root)）,底(root)…底(root)^x」と片対数尺度的に変化していく世界と「オイラーの原子量（Euler’s primitive sweep）」登場以降の「半径がxなら直径は2xとなる」連続尺度の世界の衝突を誤魔化す為の方便。
こうした検討を経て浮かび上がってくる虚数解（
Imaginary solutions）の視界（Perspective）は、TVゲームの世界におけるFPS（First-Person Shooter）やTPS(Third-Person Shooter）の視界そのものだったりします。
- FPS（First-Person Shooter）の視界（Perspective）は、ここでいう観測原点「0,0…」のそれそのもの。
FPSとは？ｗｗｗ #R6S pic.twitter.com/WblHFIcP3O
— rei@でく (@rei_de9) May 15, 2019 - TPS(Third-Person Shooter）の視界（Perspective）は、ここでいう極限値「-1,0i」からのそれそのもの。
このお楽しみはN-1の機体も景色も広く見えるからTPSのほうが良いかもしれない！
— k a (@ka0469) May 15, 2019
#swbf2 #PS4sharehttps://t.co/Vpqb0qG8RE pic.twitter.com/ARQe4aMdJ2
実際の我々は、かかる対数尺度で表示される視覚情報に片対数尺を当て嵌め「各座標軸が直交するN次元の世界」のイメージにマッピングする形で現実世界を認識しているのですね。
あらゆる波形が三角関数の組み合わせで表現できてしまうという話を知っているだろうか。例えば、次のような無限個の関数の集まり（関数系）を考える。
{1, sin(x), cos(x), sin(2x), cos(2x), sin(3x), cos(3x),⋯}
このそれぞれの関数に定数を掛けて全てを足し合わせるだけでどんな波形でも作り出せてしまうわけだ。詳しく知りたい人は「フーリエ級数」と呼ばれる分野を学ぶといい。どっちにしても理系の学生にとっては必須科目だ。
ただ非常に残念なことに、この話は
−π ≦ x ≦ π
の範囲でしか成り立たない。周期関数をいくら重ね合わせたところで同じ周期で繰り返す波形しか作り出せないのは当然のことだ。
似たような性質を持つ関数系は他にもある。例えばルジャンドル関数と呼ばれる関数を無限に集めたものを使えば上と同じ話が成り立つのだが、やはりこの場合も
−1 ≦ x ≦ 1
の範囲に限られている。変数変換をしてスケールをいじってやれば範囲を引き伸ばすことは出来ようが、無限に伸ばすわけにも行くまい。このような性質を持った関数は他にもあるが、具体的な形を書くのは面倒であるので、
のように簡単に表現してひとまとめに議論することにしよう。この表現を使ってここまでの話をまとめれば、つまり、適用範囲は限られているがどのような関数でも
のように無限の項に展開して表現できてしまうということだ。このような性質を持つ関数系を「完全系」と呼ぶ。先ほどの三角関数の集まりも
−π ≦ x ≦ π
の範囲で完全系だと言える。
あまりにもサラリと説明してしまったが、このことは非常に感動してもらって構わない。今回の話の核心部分であり、過去に多くの学者たちも感動したところである。・・・しかし感動している暇はない。先へ進むぞ。
無限の関数が集まっているとは言え、一つでも抜けると他の項はその代わりにはなれず、表現に致命的な制限を受けることになる。三角関数の例を使えば、もし sin 関数だけしかない場合には奇関数しか表現できないことになるし、もし初めの 1 がなかったら平均値が 0 になるような関数しか表現できないといったことになってしまう。
このことが何を意味するかと言えば、つまり、ある関数f(x)を表すとき、ひとたび関数系が決まってしまえば、それぞれの項の係数はただ一通りに決まってしまうということである。そこで、もはや関数f(x)をわざわざ関数の和の形で書かずとも、以下のように係数だけを並べる形で表現してやってもいいのではなかろうか。
どんな関数系を選んだかさえ知っていればこれだけの情報からいつでも元の関数を復元できるのだから。
ああ、何という事！この表現は無限次元のベクトルそのものではないか。これはすなわち関数は無限次元のベクトルと等価だということを意味しているのである。
「連続関数全体の集合が無限次元のベクトル空間を構成する為には、それぞれが線型独立でなければならない」ですと？ 要するに「N次元{x,y,z…}は互いに直交するN個の次元の集合体である」という話…
線型独立（linearly independent）または一次独立 - Wikipedia
線型代数学（linear algebra）において、ベクトルの集合が線型従属（一次従属）でないこと、つまり集合のベクトルの線型結合によるゼロベクトルの表示が自明なものに限ることをいう。
例：ベクトル空間 R2 の部分集合 {(1, 0), (0, 1), (-2, 1)} は非自明な線型関係 2(1, 0) - (0, 1) + (-2, 1) = 0 を満たすので線型従属である。他方 {(1, 0), (0, 1)} は線型独立である。
地理的な例は線型独立性の概念を明確にする助けとなるだろう。ある場所の位置を記述している人は「それはここから3キロ北で4キロ東」と言うかもしれない。これは位置を記述するのに十分な情報である、なぜならば地理的な座標系は 2-次元ベクトル空間と考えることができるからである（高度と地球の表面の曲がりは無視して）。その人は「その場所はここから北東に5キロ」と付け加えるかもしれない。この主張は正しいが、必要でない。
この例において「3キロ北」ベクトルと「4キロ東」ベクトルは線型独立である。つまり、北ベクトルを東ベクトルの言葉では記述できないし、逆もまたしかり。三番目の「5キロ北東」ベクトルは他の 2 つのベクトルの線型結合であり、ベクトルの集合を「線型従属」にする、つまり、3つのベクトルのうち1つは不要である。
また次のことにも注意しよう。高度が無視されない場合、線型独立な集合に第三のベクトルを付け加えることが必要になる。一般に、n 個の線型独立なベクトルは n-次元空間の任意の位置を記述するために必要である。
