「諸概念の迷宮(Things got frantic)」用語集

本編で頻繁に使うロジックと関連用語のまとめ。

【指数関数・対数関数】「想像上の放射相称生物(Imaginaly Radiata)」について。

一般に数の起源は等間隔の連続尺度、すなわち自然数1,2,3,4,5...N」とイメージされる事が多いですが、自然界においては実際にはいわゆる対数尺「1/root^x,root/root,root^x」が観測される事の方が圧倒的に多いのです。
*そもそも生物の視界そのものが対数尺で、むしろN次元の直交する評価軸で構成される直交座標系(rectangular coordinate system/orthogonal coordinate system)こそ、我々の想像上にのみ存在する虚数解(Imaginary solution)に過ぎないという話も。

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こうした難解な数理をイメージしやする為に、以下の様な例えを用いる事も出来ます。

毎年理論上、root)倍に成長する「想像上の放射相称生物Imaginaly Radiata)」を想定する。現在のサイズ指数「底/底)」に対してこの生物は概ね昨年は指数「−11/底)」であり、年末には指数「)」に達っすると目される。
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  • この生物が円形で、増加率の底が円周率π(=3.141592)だったら、毎回成長前の円周が成長後の直径に一致する。例えば半径1/π(直径2/π、円周2)のサイズだと半径1(直径2、円周2π)、半径1(直径2、円周2π)だと半径π(直径2π、円周2π^2)に成長する。
    *指数関数π^xに当て嵌めると「x=-1の時1/π」「x=0の時1」「x=1の時π」。ちなみに指数関数e^xに対してpi^xはe^(x*log(pi))、その逆関関数log(x,base=pi)はlog(x)/log(pi)へと変換される。log(pi)は1.14473…

  • この生物のサイズに指数関数的増大をもたらすのは複利計算(元金により生じた利子を次期の元金に組み入れ、元金だけでなく利子にも次期の利子が付く雪だるま式に増えていく計算式)なのだが、例えばそれがN段階の試行で進行するとし、全ての試行が成功するとサイズ指数「)」に到達し、全て失敗するとサイズ指数「−11/底)」すなわちゼロ成長のまま留まると考える。するとサイズ指数「底/底)」を代表値として底の極限値の上限として「ネイピア数e2.718281…)」が、下限として「1/e0.3678794…)」が得られる。
    *指数関数e^xに当て嵌めると「e=-1の時1/e」「x=0の時1」「x=1の時e」。

    ここで興味深いのが自然対数の世界においては「完全な失敗」が失敗率1/e0.3678794…)に該当するという辺り。従って(1/N)^Nの式で表される「ベルヌーイ試行Bernoulli trial)」も「N回の試行でN回目に到達する成功確率は0.6321…1-1/e)」となる。
    *自然対数の世界においてはあらゆる成長率に上限があり、あらゆる失敗率に下限が存在するとも?

増率そのものは一定なので、この生物自体が自らの「過去における成長速度の緩慢さ」や自らの「未来における成長速度の急激さ」そのものを経験する事はない。あたかも年輪を刻む樹木のうち生きているのは樹皮周辺のみで、珊瑚礁のうち生きているのは珊瑚虫が活動している表面部分のみであるかの様に。

 一歩間違えば、世界中の海がかかる巨大クラゲで一杯に…その可能性を否定するのがロジスティック方程式となります。