「ドラゴン桜２（2018年〜）」に「積み残しが数学を難しくさせ、最後には嫌いにさせてしまう」という台詞がありました。例として挙げられていたのが以下の「三平方の定理の証明」…
具体的にはこんな感じ。
三平方の定理の証明
①直角三角形を４個集めると正方形が出来る。
②大きな正方形の面積Sは一辺が{a,ab}={b,bc}={c,cd}={d,da}（Aとする）で、かつ{ab,b}+{bc,c}+{cd,c}={da,a}（Bとする）にして{a,ab}+{ab,b}={b,bc}+{bc+b}={c,cd}+{cd,d}={d,da}+{da,a}なのでS=(A+B)^2
③またSは一辺が{ab,bc}={bc,cd}={cd,da}={da=ab}（Cとする）の正方形とABの直角三角形4つの和でもあるので
S=C^2+4*1/2*A*B
④よって
A^2+2AB+B^2=C^2+2AB
⑤これを整理すると
A^2+B^2=C^2
a^2+b^2=c^2からsinθ^2+cosθ^2=1へ
ここに登場する直角三角形ABCは（プログラム中での扱いを見ても分かる様に）以下とも置ける。
a=cos(θ)
b=sin(θ)
c=1
よって同時に任意の角度θに対して以下が成立。
cos(θ)^2+sin(θ)^2=1
ところで上掲の図形、真ん中に穴を開けてぐるりと回すと「基本円（Basic Circle 半径1の円）」に変形させられそうな気がしませんか？
ならば両者の図形は位相幾何学（Topology）的にはどちらもドーナツ型、すなわちトーラス（単torus, 複tori）と見做せる事になるのです。
この時、すなわち0度(0ラジアン)から90度(π/2ラジアン)、90度(π/2ラジアン)から180度(πラジアン)、180度(πラジアン)から270度（3/4πラジアン）、270度（3/4πラジアン）から360度（2πラジアン）の4区画の遷移を単位としcos(θ)*sin(θ)の値が0と(sqrt(2)/2(0.7071068))^2=0.5の間を、cos(θ)+sin(θ)の値が1とsqrt(2)=1.414214の間を往復します。トーラス構造を読み解く鍵となるのはこのうち後者？
①正三角形と正方形は「連続トーラス（Multiplex Tori）」を構築する。
＊そしてそれは綺麗に対数比をなしている。
②正五角形以降は 「単層トーラス（Simplex Torus）」しか構築しない。
＊より正確には「理論上それが構成されると考えるのは不可能でもないが、連鎖効果が見込めない為に普通は無視される」という感じかも。
こうした展開の極限として深淵ならぬ真円、すなわち「基本円（Basic circle、半径１の円弧）」の特徴に目を向けてみると…
- 外角の大きさpi/Nラジアンあるいは180/N度の値は0。
- 内角の大きさ2*pi*(N-2)/Nの値は2*piラジアン、180*(N-2)/Nの値は180度。
- 内接円と外接円の差cos(pi/N)の値も0で、辺長の合計が2*piと一致。
こうして全体像を俯瞰すると、ある意味「基本円（Basic circle、半径１の円弧）」は、それに内接/外接するあらゆる多角形の性質を継承してる訳ですが、参照されるのはほとんど（直角を扱う）正方形の特徴ばかりというのが興味深い？
