一般に「指数関数的成長」といいますが、これは指数関数A^xが以下の三区間で振る舞いを全く異にする辺りに由来しているのです。
統計言語Rによる図示例
#ネイピア数を底とする指数関数・対数関数
f0<-function(x){exp(x)}
f1<-function(x){log(x)}
plot(f0,xlim=c(-8,8),ylim=c(-8,8),type="l",col=rgb(1,0,0), main="Exponential and logarithmic functions to base Napier number", xlab="x", ylab="y")
par(new=T)#上書き指定
plot(f1,xlim=c(-8,8),ylim=c(-1,8),col=rgb(0,0,1),main="", xlab="", ylab="")
legend("topleft", legend=c("y=e^x", "y=log(x)"), lty = c(1,1),col=c(rgb(1,0,0),rgb(0,0,1)))
- 「無視可能な状態（Ignorable State）=1/(root^x)」…プランクトンの様な微生物の世界。未来から振り返ると有意味情報を抽出するのに困難を感じるほど微小な変化しか遂げてない様に見える。一応オイラーの原始量（Euler’s primitive sweep）概念でいう「−１」の領域と重なるが、数理モデルとして別物に上書きされてしまっている。
#指数関数と対数関数の結果の対応
target_numbers<-c("0.5=1/2","0.25=1/4","0.125=1/8","0.0625=1/16")
exponential_result<-c("2^-1=0.5","2^-2=0.25","2^-3=0.125","2^-4=0.0625")
logarithm_result<-c("log2(0.5)=-1","log2(0.25)=-2","log2(0.125)=-3","log2(0.0625)=-4")
Exponential_and_Logarithm<-data.frame(Target_numbers=target_numbers,Exponential_result=exponential_result,Logarithm_result=logarithm_result)
library(xtable)
print(xtable(Exponential_and_Logarithm), type = "html")Target_numbers Exponential_result Logarithm_result 1 0.5=1/2 2^-1=0.5 log2(0.5)=-1 2 0.25=1/4 2^-2=0.25 log2(0.25)=-2 3 0.125=1/8 2^-3=0.125 log2(0.125)=-3 4 0.0625=1/16 2^-4=0.0625 log2(0.0625)=-4 - 「切替領域（Current State）=指数における-1から0を経て1に至る領域、対数関数における底(1/rootから1を経てrootに至る領域」 …我々の生きているサイズの生物界。オイラーの原始量（Euler’s primitive sweep）概念でいうところの「０」と「１」の世界。信じられないほど多種多様な展開を遂げる。（微積分や統計学の出発点にしてオイラーがそこだけ切り取って周期関数化した）自然対数e^xの世界、（下手に弄ると面倒が生じるので現在は定数として扱われている）π^xの世界、そもそも指数・対数関数発見の発端となった10^xの世界、そしてデジタル情報工学の出発点となった2^xの世界…
#指数関数と対数関数の結果の対応
target_numbers<-c("1/root","root/root","root")
exponential_result<-c("root^-1","root^0","root^1")
logarithm_result<-c("log(1/root,base=root)","log(1,base=root)=0","log(root,base=root)=1")
Exponential_and_Logarithm<-data.frame(Target_numbers=target_numbers,Exponential_result=exponential_result,Logarithm_result=logarithm_result)
library(xtable)
print(xtable(Exponential_and_Logarithm), type = "html")
＊「多変量解析（multivariate analysis）では偏微分が活躍する」というが、そもそも過去の数学的偉人が「封印」に成功するまでは自然対数eも円周率πも指数関数に基づいて推移する変数だった訳で、この辺りは相対的に考えるしかない。Target_numbers Exponential_result Logarithm_result 1 1/root root^-1 log(1/root,base=root) 2 root/root root^0 log(1,base=root)=0 3 root root^1 log(root,base=root)=1 ＊ただし幾何学上の「事象の地平線（透視図法の消失点）」たるπを指数関数として扱う意味はあまりなく、やがて定数としてしか扱われなくなっていく。
- 「有意味な状態（Significant State）=root^x」…ゴジラの様に無限に成長を続ける巨大生物の世界。世界資源が有限である事を重ね合わせると、想像しただけで心臓に悪い。
#指数関数と対数関数の結果の対応
target_numbers<-c("4","8","16")
exponential_result<-c("2^2=4","2^3=8","2^4=16")
logarithm_result<-c("log2(4)=2","log2(8)=3","log2(16)=4")
Exponential_and_Logarithm<-data.frame(Target_numbers=target_numbers,Exponential_result=exponential_result,Logarithm_result=logarithm_result)
library(xtable)
print(xtable(Exponential_and_Logarithm), type = "html")
そこでルネサンス期イタリアの数学者レオナルド・フィボナッチ（ピサのレオナルド、 1170年頃〜1250年）の「フィボナッチ数（Fibonacci number）に基づく兎算」やトマス・ロバート・マルサス（1766年〜1834年）が「人口論（An Essay on the Principle of Population、1798年）」の中で述べた所謂「マルサスの罠」すなわち「幾何級数的に増加する人口と算術級数的に増加する食糧の差により人口過剰、すなわち貧困が発生する。これは必然であり、社会制度の改良では回避され得ない」に対抗すべくロジスティック方程式の研究が始まり、後世の多変量解析（multivariate analysis）や人工知能理論に結びつくロジスティック方程式（logistic equation）の研究が始まった。Target_numbers Exponential_result Logarithm_result 1 4 2^2=4 log2(4)=2 2 8 2^3=8 log2(8)=3 3 16 2^4=16 log2(16)=4
＊とはいえ「過去」は常に現在のレッド・オーシャンを回避する「第三の道」の宝庫であり、そこで志向される「輝かしい未来」は指数関数的成長を想定したりしてるので、実世界における在り方はそれほど単純でもない。
ところで、ここでいうCurrentには「（時間軸上における）現在の」という意味もあります。そこでこの解釈を前後の「無視可能な状態（Ignorable State）=1/(root^x)」や「有意味な状態（Significant State）=root^x」にも敷衍して各グラフの形の位相を90度単位でs推移させていくと動かしていくと、以下の様に可換性のある「過去」と「未来」の状態遷移図が浮かび上がってくるのです。
- 無視可能な状態（Ignorable State = 1/(root^x)、あるいは-1*(1/(root^x))）から有意味な増大（Significant Increase = root^x）へ
- 無視可能な状態（Ignorable State = 1/(root^x)、あるいは-1*(1/(root^x))）から有意味な減少（Significant Decrease = -(root^x)）へ
- 有意味な増大（Significant Increase = root^x）から無視可能な状態（Ignorable State = 1/(root^x)、あるいは-1*(1/(root^x))）」へ
- 有意味な減少（Significant Decrease = -(root^x)）から無視可能な状態（Ignorable State = 1/(root^x)、あるいは-1*(1/(root^x))）」へ
しかもその境界線として傾きが完全消失する指数関数のroot^0,対数関数のlog(0,base=root)地点（root/root）が「半径1の円を描く」イメージが浮かび上がってくるのです。
