オイラーの等式e^πi=(1+πi/N)^N=(1+πi/N)^N=1+πi=-1（フルで全貌について触れようとするとこんな感じになる）の成立は、以下の意味合いにおいて歴史的画期となりました。

オイラーの公式（Euler's formula）exp(x*(0+1i))=cos(x)+sin(x*(0+1i))に従って円弧が描かれる時、実は元となる指数関数±exp(x*(0+1i))や対数関数±log(x*(0+1i))も、こんな見慣れない形をしてるのです。まずはこの「全ての曲線が円周上に収束していく」ブラ…

オイラーの等式e^iπ=-1とオイラーの公式e^Θi=cos(Θ)+sin(Θ)iの狭間… この時、ほんの一瞬だけその実像を垣間見せる「オイラーの原始量（Euler's primitive sweep）＝観測原点をすっぽり包む全球型スクリーン」… その大源流こそ「目と視覚情報を処理する脊椎」…

ここに登場する「（球面上にしか存在し得ない）正２角形」をオイラーの等式e^iπ=-1と結びつけたのが「オイラーの原始量（Euler's primitive sweep）」概念となります。 統計言語Rによる視覚化 #オイラーの原始量（Euler's primitive sweep）theta <- seq(pi,…

人間はある周波数[Hz]の音を聞いていたとき、その２倍の周波数[Hz]の音を聞くと音の高さが２倍になったように感じます。言い換えると、周波数の対数を取ったものを横軸とし、縦軸に人間が感じる音の高さをプロットすると直線になるのです。これは精神物理学…

対数関数(Logarithm Function）x=±a(1/a)^yあるいはy=±log(x,base=a(1/a))ではなく、指数関数（Exponential Function）y=±a(1/a)^xだけが文字通り「指数級的（Exponential）展開」による「 有意味な増大（SI=Significant increase）」や「有意味な減少（SR=S…

オイラーの等式e^iπ=(1-iπ/N)^N=(1+iπ/N)^N=-1は（角度の特定はともかく）辺長の合計の極限値が「2π（極限値）」で対角線の全長が「２」の（平面上でのイメージ化は不可能だが、球面上においては容易にイメージ化可能な）正２角形を現出させます。 正二角形 …

ナチス・ドイツにそのまま残って協力者となった事から賛否両論あるドイツの哲学者マルティン・ハイデッガー（Martin Heidegger、1889年〜1976年）は「技術への問い（Die Frage nach der Technik、1954年）」の中でこう述べています。 集-立（Ge-Stell「特定…

一般に数の起源は等間隔の連続尺度、すなわち自然数「1,2,3,4,5...N」とイメージされる事が多いですが、自然界においては実際にはいわゆる対数尺「1/root^x,root/root,root^x」が観測される事の方が圧倒的に多いのです。＊そもそも生物の視界そのものが対数…

以下は指数関数π^xのグラフです。 #オイラーの原子量（Euler’s primitive sweep）と指数関数π^x（Euler’s primitive sweep & π^x） pix<-function(n){theta <- seq(pi, -pi, length=360)plot(cos(theta), sin(theta),xlim=c(-2,2),ylim=c(-2,2), type="l",co…

三角関数は微分する都度時計回りに90度回転し４回で１周します。

「ヒッピー運動は死んだ」「サイバーパンク運動は死んだ」「ハードボイルド運動は死んだ」。そう連呼するのは容易ですが、インターネット社会は割と厳格な統計社会でもあり、いともたやすく思わぬ続きを浮び上がらせます。「だがティモシー・リアリー博士（T…

ところで、ここでいう指数関数と対数関数の「現在」を基準点とする「過去」と「未来」の峻別は、底（root）の値を逆転させると完全に逆転してしまうのです。しかもその過程で指数関数のroot^0,対数関数のlog(0,base=root)段階で傾きの完全消失状態が観測され…

「関数で円を描く」のは案外単純ではありません。 円 (数学) - Wikipedia 解析幾何学において「(a, b) を中心とする半径 r の円」は「(x-a)^2+(y-b)^2=r^2」を満たす点 (x, y) 全体の軌跡である。この方程式を、円の方程式と言う。これは、中心 (a, b) と円…

とりあえず統計言語Rで「オイラーの公式（Euler's formula）」すなわち「e^Θ=cos(Θ)+sin(Θ)i」を動かしてみました。証明方法としては以下など。 これが世界で一番美しい方程式？

生物が「観測原点をすっぽり包む全球型スクリーン」に自らの生存可能性を委ねる様になったのはカンブリア爆発期（約5億4200万年前〜約4億8830万年前）以降、動きの鈍重な放射相称動物（Radiata、ウニやクラゲやイソギンチャクの類）から「目と視覚情報を処理…

一般に「指数関数的成長」といいますが、これは指数関数A^xが以下の三区間で振る舞いを全く異にする辺りに由来しているのです。 統計言語Rによる図示例 #ネイピア数を底とする指数関数・対数関数f0<-function(x){exp(x)}f1<-function(x){log(x)}plot(f0,xlim…

「対象円（Target circle）に外接（circumscribe）あるいは内接（inscribe）する正多角形（regular polygon）」と「その多角形に外接あるいは内接する円周（circle）」については以下の法則が成り立ちます。 一辺の長さがaの正n角形に外接する円の半径r r=a/…

「オイラーの等式（e^πi=-1）」の証明については、Wikipediaにこうあります。 オイラーの等式（Euler's identity） - Wikipedia 指数関数 e^z は (1+z/N)^NのN が無限に大きくなるときの極限として定義でき、e^iπは その極限値となる。このアニメーションで…

指数関数や（それと逆関数の関係にある）対数関数の最大の特徴は、それぞれの底（root）について以下の領域における振る舞いがそれぞれ全く異なる点にあります。統計言語Rによる図示例 #ネイピア数を底とする指数関数・対数関数f0<-function(x){exp(x)}f1<-f…

そういえばあまり指数関数π^xのグラフを目にした事がありません。大友克洋の漫画「AKIRA」における大佐の台詞を思い出します。「見てみろ、この慌てぶりを。怖いのだ。怖くてたまらずに覆い隠したのだ。恥も尊厳も忘れ、築き上げてきた文明も、科学もかなぐ…

指数関数/対数関数は一定以上の規模に到達しないと、その指数関数的増大を顕現させません。従って両者の中間たる「e^0=1」すなわち「(1/N)^N」を計算しても急激に0に近付く減衰曲線を描くのみです。統計言語Rによる検証例 #(1/x)^xの極限 (1/Inf)^Inf[1] 0#…

「♪オイラーはドラマー、やくざなドラマー、オイラーが怒れば嵐を呼ぶぜ…喧嘩代わりにドラムを叩きゃ、通りの憂さも吹っ飛ぶぜ…」

「冪（べき）e^tがx自身に一致するような指数t」のことをxの自然対数eといいます。 ＊実際には微積分によって対象の状態そのものが変化してる訳ではない。我々がその都度（360度の次は1度とカウントする様に）累積した誤謬上の誤謬をクリアしてるに過ぎない…