一般に「三平方の定理（Three square theorem）」あるいは「ピタゴラスの定理（Pythagorean theorem）」として知られるX^2+Y^2=Z^2の式、すなわち単位円（Unit Circle、半径1の円弧）上ではx^2+y^2=1、 単位球面（Unit Circle、半径1の円弧）上ではx^2+y^2+z^2=1、となる定理について。しばしばYの値をXで求める関数に変換されたY=sqrt(1-X^2)の形式でも用いられます。
【数理Computingの基礎】情報倉挟み撃ち定理（Squeeze Theorem）による円周率πの近似
まず最初に。この論考においてはオイラーの公式（Euler's formula）cos(θ)+sin(θ)iをより一般化した方程式（
Equation）cos(θ)+cos(θ-π/N)iを扱いますが、ここでいうNは正多角形（
Regular Polygon, Regular N gon）の角数（NoC=Number of Corners）というより、正多辺形(Regular PolySides, Regular N sides)の辺数（NoC=Number of Sides）と考えた方が何かと都合が良いので出発点をそう定め、方程式の名前も「正多辺形方程式（Regular PolySides Equation）」と呼ぶ事にします。
【正多辺形方程式情報倉庫】最も簡単な円描写アルゴリズムとしての「単位円筒（Unit Cylinder）」概念について解釈
手段は何であれ「X軸にCos波、Y軸にSin波」を配する事さえ思いつけば円は描けてしまいます。そして物理系科学の世界においては、数学世界と異なり以下の様な解釈が主流となっている様なのです。
【数理Computingの基礎】数学界と物理学界を結ぶ「振動の定理」について。
発端はこの記事。
数列の極限は，
- 1…（有限の値に）収束する。
- 2A…正の無限大に発散する。
- 2B…負の無限大に発散する。
- 3…振動する。
のいずれかである。2と3の場合をいずれも発散すると言う。
例題5「数列 An=(−1)^n の極限を調べよ」の解答
Anは−1 と 1 をひたすら交互に繰り返す。収束，正の無限大に発散，負の無限大に発散，のいずれにも当てはまらないので振動に分類される。
【多角形方程式情報倉庫】Cos(θ)*Sin(θ)の結果からトーラス構造へ
そもそもの発端はこの「赤い四角の部分」の挙動に興味を持った事。
- X軸のCos(θ)波と、Y軸のSin(θ)i波は、元来同じ波形。前者を-90度回転させた結果が後者。
- 両者の乗算によって得られる面積は最小が0（Cos(θ)=0あるいはSin(θ)=0の場合）、最大が1/4（Cos(θ)=Sin(θ)=sqrt(2)/2の場合。ピタゴラスの定義x^2+y^2=z^2に従ってそれぞれ2乗すると対角線長0.5の正方形が現れ、その面積がこれとなる）となる。つまり４象限分集めると辺長1/面積1/対角線sqrt(2)の正方形が回転の都度、現れては消えていく事になる。
- この推移は対数比X^0.5（1/2乗）に従って推移する「正方形における外接円と内接円の関係比」と完全に合致する。
その数理自体に再検討の余地はなく、また科学技術への特別な貢献もなかった事から、このトピックについての特別な解説など見た事がありません。しかし実は、この過程が単なる正方形の状況推移に見えない辺りにこそ「正方形にまつわる重要な秘密」が示唆されていたのです。
